Matrice d'une application
Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel de base (\(e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}\)), \(F\) un espace vectoriel de base (\(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, ..., \epsilon_{p}\)) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\).
Pour tout \(x \in E\) de la forme : \(x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + ... + x_{n} e_{n}\), l'application \(f\) fait correspondre le vecteur \(y \in F\) tel que :
\(y = f (x) = y_{1} \epsilon_{1} + y_{2} \epsilon_{2} + ... + y_{p} \epsilon_{p}\)
avec
\(\begin{array}{r c l} y_{1} & = & a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1n} x_{n} \\ y_{2} & = & a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2n} x_{n} \\ y_{p} & = & a_{p1} x_{1} + a_{p2} x_{2} + ... + a_{pn} x_{n} \end{array}\)
Démonstration :
Pour tout \(x \in E\) défini par : \(x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + ... + x_{n} e_{n}\),
l'application \(f\) fait correspondre le vecteur \(y \in F\) tel que :
\(\begin{array}{r c l} y & = & f(x) = f(x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + ... + x_{n} e_{n}) \\ & = & f(x_{1} e_{1}) + f(x_{2} e_{2}) + ... + f(x_{n} e_{n}) \\ & = & x_{1} f(e_{1}) + x_{2} f(e_{2}) + ... + x_{n} f(e_{n}) \end{array}\)
En exprimant les composantes \(f(e_{1}), f(e_{2}), ..., f(e_{n})\) relativement à la base \((\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, ..., \epsilon_{p})\) de \(F\) sous la forme d'une combinaison linéaire, avec des scalaires doublement indicés :
\(\begin{array}{r c l} f(e_{1}) & = & a_{11} \epsilon_{1} + a_{21} \epsilon_{2} + ... + a_{p1} \epsilon_{p} \\f(e_{2}) & = & a_{12} \epsilon_{1} + a_{22} \epsilon_{2} + ... + a_{p2} \epsilon_{p} \\ f(e_{n}) & = & a_{1n} \epsilon_{1} + a_{2n} \epsilon_{2} + ... + a_{pn} \epsilon_{p}\end{array}\)
Par combinaison linéaire des \(n\) lignes :
\(\begin{array}{r c l} y = f(x) & = & x_{1} [a_{11} \epsilon_{1} + a_{21} \epsilon_{2} + ... + a_{p1} \epsilon_{p}] + \\ & & x_{2} [a_{12} \epsilon_{1} + a_{22} \epsilon_{2} + ... + a_{p2} \epsilon_{p}] + \\ & & ... \\ & & x_{n} [a_{1n} \epsilon_{1} + a_{2n} \epsilon_{2} + ... + a_{pn} \epsilon_{p}] \end{array}\)
\(\begin{array}{r c l} y & = & (a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1n} x_{n}) \epsilon_{1} + \\ & & (a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2n} x_{n}) \epsilon_{2} + \\ & & ... \\ & & (a_{p1} x_{1} + a_{p2} x_{2} + ... + a_{pn} x_{n}) \epsilon_{p} \end{array}\)
\(\color{blue} \Rightarrow y = y_{1} \epsilon_{1} + y_{2} \epsilon_{2} + ... + y_{p} \epsilon_{p}\)
en posant
\(\begin{array}{l} y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1n} x_{n} \\ y_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2n} x_{n} \\ ... \\ y_{p} = a_{p1} x_{1} + a_{p2} x_{2} + ... + a_{pn} x_{n} \end{array}\)
Définition : Notation matricielle
\(\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \ldots \\ \ldots \\ y_{p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{p1} & a_{p2} & \ldots & \ldots & a_{pn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{1} \\ \ldots \\ \ldots \\ x_{n} \end{pmatrix}\)
\(\textrm{Y} = M\textrm{X}\) avec \(\textrm{Y} = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \ldots \\ \ldots \\ y_{p} \end{pmatrix}\) et \(\textrm{X} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{1} \\ \ldots \\ \ldots \\ x_{n} \end{pmatrix}\) matrices colonnes ;
ainsi que \(M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{p1} & a_{p2} & \ldots & \ldots & a_{pn} \end{pmatrix}\) matrice de l'application linéaire à \(p\) lignes et \(n\) colonnes.
Les colonnes sont formées de \(f(e_{1}), f(e_{2}), ..., f(e_{n})\) dans la base \((\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, ..., \epsilon_{n})\).