Application linéaire
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbb{K}\) (\(\mathbb{K}\)=\(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)).
Définition :
Une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est une relation qui à tout élément \(x \in E\), associe l'élément unique \(f(x) \in F\).
L'application \(f\) est dite linéaire quand elle possède les deux propriétés suivantes :
\(\forall (x, y) \in E^{2} : f(x + y) = f(x) + f(y)\)
\(\forall x \in E\) et \(\forall \alpha \in \mathbb{K} : f(\alpha x) = \alpha f(x)\)
Formulation plus condensée :
\(\forall (x,y) \in E^{2}\) et \(\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^{2} : \color{blue} f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)\)
Une application linéaire de \(E\) dans \(K\) (considérée comme un espace vectoriel sur lui-même) est appelée forme linéaire.
Vocabulaire :
On appelle homomorphisme une application linéaire de \(E\) dans \(F\) (on dira Isomorphisme si \(f\) est bijective).
On appelle endomorphisme une application linéaire de \(E\) dans \(E\) (on dira Automorphisme si \(f\) est bijective).
On appelle noyau de \(f\), l'ensemble \(\textrm{Ker}~f\) des vecteurs \(x \in E\) dont l'image par \(f\) est le vecteur nul \(O_{F} \in F : \color{blue} f(x) = O_{F}\)
On appelle image de \(f\), l'ensemble \(\textrm{Im}~f\) des vecteurs \(y \in F\) tels qu'il existe un vecteur \(x \in E\) vérifiant : \(\color{blue} f(x) = y\).
On appelle rang de l'application linéaire \(f\) la dimension du sous-espace image \(f(E)\) (\(\color{blue} dim~f(E)\) ou \(\color{blue}\textrm{dim}~(\textrm{Im}~f)\)).
(\(\textrm{dim}~(\textrm{Im}~f) + \textrm{dim}~(\textrm{Ker}~f) = \textrm{dim}~E = n\))
Propriété :
Une application linéaire est complètement déterminée par les données des images des vecteurs de base.
En effet, si \(\textrm{B} = (e_{1}, e_{2}, ..., e_{n})\) est une base de \(E\),
\(\forall x \in E : x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + ... + x_{n} e_{n}\)
D'après la linéarité de l'application \(f\) :
\(\begin{array}{r c l} f(x) & = & f(x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + ... + x_{n} e_{n}) \\& = & f(x_{1} e_{1}) + f(x_{2} e_{2}) + ... + f(x_{n} e_{n}) \\& = & x_{1} f(e_{1}) + x_{2} f(e_{2}) + ... + x_{n} f(e_{n}) \end{array}\)
La connaissance des images des vecteurs de base \(f(e_{1}), f(e_{2}) ... f(e_{n})\) entraîne la détermination de \(f(x)\).
Si \(E\) et \(F\) sont deux espaces vectoriels sur le même corps \(\mathbb{K}\), en notant :
\(\textrm{L}(E, F)\) l'ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\) et \(\textrm{L} (E)\) l'ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(E\),
alors ces deux ensembles sont des espaces vectoriels sur \(\mathbb{K}\) pour les opérations suivantes :
Addition : \(f(x) = (f_{1} + f_{2})(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x)\)
Multiplication par un scalaire : \((\alpha f)(x) = \alpha f(x)\)
Soient \(E\), \(F\) et \(G\) trois espaces vectoriels sur \(\mathbb{K}\) et soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\) et \(g\) une application de \(F\) dans \(G\).
On appelle application composée de \(f\) par \(g\) et l'on note \(g~\circ~f\), l'application de \(E\) dans \(G\) qui à tout élément \(x \in E\) associe l'élément \((g \circ f)(x)\) de \(G\) tel que : \((g \circ f)(x) = g [f(x)]\)
La composée de deux applications linéaires est :
une application linéaire
\(\begin{array}{r c l} (g \circ f)(\alpha x + \beta y) & = & g [f(\alpha x + \beta y)] \\ & = & g[\alpha f(x) + \beta f(y)] \\ & = & \alpha (g \circ f)(x) + \beta (g \circ f)(y) \end{array}\)
distributive par rapport à l'addition
\(\begin{array}{r c l}[g \circ (f_{1} + f_{2})](x) & = & g[(f_{1}+f_{2})(x)] \\ & = & g[f_{1}(x) + f_{2}(x)] \\ & = & (g \circ f_{1})(x) + (g \circ f_{2})(x) \\ & = & [g \circ f_{1} + g \circ f_{2}](x) \end{array}\),
soit \(g \circ (f_{1} + f_{2}) = g \circ f_{1} + g \circ f_{2}\),
de façon similaire : \((g_{1} + g_{2}) \circ f = g_{1} \circ f + g_{2} \circ f\)
Exemple :
Toute application de \(R^{3}\) dans \(R^{2}\) qui, au vecteur \(u = (x, y, z) \in R^{3}\), fait correspondre le vecteur \(v = (x', y')\) de \(R^{2}\) tel que :
\(x' = ax + by + cz\),
\(y' = dx + ey + fz\)
(\(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) et \(f\) sont des constantes) sont linéaires.
Dans l'espace vectoriel de fonctions numériques, l'opérateur dérivation est linéaire:
\((f + g)' = f ' + g'\),
\((\alpha h)' = \alpha h'\) (avec \(\alpha\) une constante).
Dans l'espace vectoriel \(R^{3}\), la projection sur un plan \(\textrm{P}\), parallèlement à une droite \((D)\) est une application linéaire :
\(\textrm{proj} \left( \overset{\rightarrow}{\textrm{U}} + \overset{\rightarrow}{\textrm{V}} \right) = \textrm{proj}~\overset{\rightarrow}{\textrm{U}} + \textrm{proj}~\overset{\rightarrow}{\textrm{V}}\)
\(\textrm{proj} \left( \alpha \overset{\rightarrow}{\textrm{W}} \right) = \alpha~\textrm{proj}~\overset{\rightarrow}{\textrm{V}}\)