Dépendance et indépendance linéaires
Soient \(n\) vecteurs \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) d'un espace vectoriel \(E\) et \(n\) scalaires \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}\) de \(\mathbb{K}\) (\(n \in \mathbb{N}^{*}\)).
Définition :
On appelle combinaison linéaire d'une famille de \(n\) vecteurs (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) de \(E\), tout vecteur de la forme : \(\textcolor{blue}{x} = \alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} +...+ \alpha_{n}x_{n} = \color{blue} \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} \alpha_{i} x_{i}\).
Une famille (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) de \(E\) est dite libre ou les vecteurs (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) sont dits linéairement indépendants si et seulement si : \(\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} +...+ \alpha_{n}x_{n} = O_{E} \in \color{blue} \alpha_{1} = \alpha_{2} = ... = \alpha_{n} = 0\).
Si la famille (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) de \(E\) n'est pas libre, on dit qu'elle est liée ou que les vecteurs (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{p}\)) sont linéairement dépendants.
Une famille (\(x1, x2, ..., xn\)) de \(E\) est génératrice de \(E\) si pour tout vecteur \(x \in E\) on peut trouver \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n}\) éléments de \(\mathbb{K}\) tels que :
\(\color{blue} x=\alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + ... + \alpha_{n} x_{n}\).
Propriété :
L'ensemble des combinaisons linéaires de \(n\) vecteurs de \(E\) est un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\).
Si la famille (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n-1}\)) est libre et si le vecteur \(x_{n}\) n'est pas combinaison linéaire de \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n-1}\), alors la famille (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) est libre.
La famille (\(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\)) est liée si et seulement si l'un au moins des vecteurs \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) est combinaison linéaire des autres.
Exemple :
Dans \(R^{2}\), les vecteurs \(x_{1} = (1, 3)\) et \(x_{2} = \left( \frac{2}{3}, 2 \right)\) sont liés, car \(x_{2} = \left( \frac{2}{3} \right) x_{1}\)
Dans l'espace vectoriel \(R_{3}[X]\) des polynômes, \(\Big\{ 1 ;~~X + 1 ;~~X^{2} + 1 ;~~X^{3} + 1\Big\}\) est une famille libre.