Méthode de Cramer

Partie

Question

Calculer les courants \(I_{2}\), \(I_{3}\) et \(I_{4}\) par résolution du système selon la méthode de Cramer.

En déduire les courants \(I_{1}\), \(I_{5}\) et \(I\), ainsi que les tensions entre deux noeuds du circuit.

Pour connaître les valeurs des différents éléments, cliquer sur les références ci-dessous :

Aide simple

Pour le calcul de \(\Delta\), choisir de préférence la ligne ou la colonne comprenant un zéro.

Aide détaillée

Exprimer le courant \(I_{k} = \Delta_{k} / k\) traversant la résistance \(R_{k}\) en vous servant du déterminant \(\Delta_{k}\) de la matrice \([R]\) obtenu en remplaçant la kième colonne de \([R]\) par la matrice colonne \([U]\).

Solution simple

Le calcul du déterminant conduit après factorisation à :

\(\Delta = R_{1} R_{2} ( R_{3} + R_{4} + R_{5}) + R_{4} R_{5} ( R_{1} + R_{2} + R_{3} ) + R_{3} (R_{1} R_{5} + R_{2}R_{4}) = 2,4105.10^{9}~\Omega^{3}\)

Les courants étant :

  • \(I_{2} = \frac{E}{\Delta} \left[ R_{4} (R_{1} + R_{3}) + R_{1} (R_{3} + R_{5}) \right] \approx 6,852~\textrm{mA}\)

  • \(I_{3} = \frac{E}{\Delta} \left[ R_{2}R_{4} - R_{1}R_{5} \right] \approx 0,894~\textrm{mA}\)

  • \(I_{4} = \frac{E}{\Delta} \left[ R_{2} (R_{3} + R_{5}) + R_{5} (R_{1} + R_{3}) \right] \approx 6,469~\textrm{mA}\)

Solution détaillée

Calcul du déterminant \(\Delta\) de la matrice \([R]\) :

\(\Delta =\left| \begin{matrix} -R_{2} & (R_{1} + R_{3}) & R_{1} \\ -R_{5} & -(R_{3} + R_{5}) & R_{4} \\ (R_{2} + R_{5}) & R_{5} & 0 \end{matrix} \right|\)

La dernière colonne, comprenant un zéro, sera choisi pour développer les calculs :

\(\begin{array}{r l} \Delta & = R_{1} \left| \begin{matrix} -R_{5} & - (R_{3} + R_{5}) \\ R_{2} + R_{5} & R_{5} \end{matrix} \right| - R_{4} \left| \begin{matrix} -R_{2} & R_{1} + R_{3} \\ R_{2} + R_{5} & R_{5} \end{matrix} \right| \\ & = R_{1} \Big[ -R_{5}^{2} + (R_{2} + R_{5})(R_{3} + R_{5}) \Big] - R_{4} \Big[ -R_{2} R_{5} - (R_{1} + R_{3})(R_{2} + R_{5}) \Big] \end{array}\)

En développant, nous obtenons :

\(\begin{array}{r l} \color{red} \Delta & = -R_{1}R_{5}^{2} + R_{1}R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3}R_{5} + R_{1}R_{2}R_{5} + R_{1}R_{5}^{2} + R_{2}R_{4}R_{5} + R_{1}R_{2}R_{4} + R_{2}R_{3}R_{4} + R_{1}R_{4}R_{5} + R_{3}R_{4}R_{5} \\ & \color{red} = R_{1}R_{2} (R_{3} + R_{4} + R_{5}) + R_{4}R_{5} (R_{1}+ R_{2} + R_{3}) + R_{3} (R_{1}R_{5} + R_{2}R_{4}) \end{array}\)

Application numérique : \(\Delta = 2,394 . 10^{9}~ \Omega^{3}\)

Calcul des courants \(I_{2}\), \(I_{3}\) et \(I_{4}\) :

Par définition, \(I_{k} = \Delta_{k} / \Delta\),

d'où :

  • \(I_{2} = \frac{\left| \begin{matrix} 0 & (R_{1} + R_{3}) & R_{1} \\ 0 & -(R_{3} + R_{5}) & R_{4} \\ E & R_{5} & 0 \end{matrix} \right|}{\Delta} = \frac{E}{\Delta} \left| \begin{matrix} (R_{1} + R_{3}) & R_{4} \\ -(R_{3} + R_{5}) & R_{4} \end{matrix} \right|\)

    Ainsi, \(\color{blue}I_{2} \color{black}= \frac{E}{\Delta} \Big( R_{4}(R_{1} + R_{3}) + R_{1}(R_{3} + R_{5}) \Big) \approx \color{blue} 6,852~\textrm{mA}\)

    Pour visualiser la valeur expérimentale de \(I_{2}\), c'est ici[6].

  • \(I_{3} = \frac{\left| \begin{matrix} -R_{2} & 0 & R_{1} \\ -R_{5} & 0 & R_{4} \\ R_{2} + R_{5}& E & 0 \end{matrix} \right|}{\Delta} = \frac{E}{\Delta} \left| \begin{matrix} -R_{2} & R_{1} \\ -R_{5} & R_{4} \end{matrix} \right|\)

    Ainsi, \(\color{blue}I_{3} \color{black}= \frac{E}{\Delta} \Big( R_{2}R_{4} - R_{1}R_{5} \Big) \approx \color{blue} 0,894~\textrm{mA}\)

    Pour visualiser la valeur expérimentale de \(I_{3}\), c'est ici[6].

  • \(I_{4} = \frac{\left| \begin{matrix} -R_{2} & (R_{1} + R_{3}) &0 \\ -R_{5} & -(R_{3} + R_{5}) & 0 \\ R_{2} + R_{5}& R_{5} & E \end{matrix} \right|}{\Delta} = \frac{E}{\Delta} \left| \begin{matrix} -R_{2} & R_{1} + R_{3}\\ -R_{5} & -( R_{3} + R_{5}) \end{matrix} \right|\)

    Ainsi, \(\color{blue}I_{4} \color{black}= \frac{E}{\Delta} \Big( R_{2}( R_{3} + R_{5}) + R_{5}( R_{1} + R_{3})\Big) \approx \color{blue} 6,469~\textrm{mA}\)

    Pour visualiser la valeur expérimentale de \(I_{4}\), c'est [8] [6] [7] ici[6].