Étude de dipôles en série (Circuit R-L ; R-C ; R-L-C série (circuit résonnant))
Circuit R-L
Les deux dipôles en série ont pour impédances complexes :
\(\underline Z_1 =R\)
\(\underline Z_2 = jL\omega\)
L'ensemble a donc pour impédance complexe leur somme, soit :
\(\underline Z = R + jL\omega\)
D'où l'impédance du dipôle équivalent :
\(Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+L^2\omega^2}\)
et le déphasage entre tension et courant :
\(\varphi=\textrm{Arg}(\underline Z)=\textrm{Arctg}\bigg(\frac{L\omega}{R}\bigg) ;\;0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}\)
Circuit R-C
Les deux dipôles en série ont pour impédances complexes :
\(\underline Z_1 =R\)
\(\underline Z_2=\frac{1}{jC\omega}\)
L'ensemble a donc pour impédance complexe leur somme :
\(\underline Z=R+\frac{1}{jC\omega}=R-\frac{j}{C\omega}\) D'où l'impédance du dipôle équivalent :
\(Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+\frac{1}{C^2\omega^2}}\)
et le déphasage entre tension et courant
\(\varphi=\textrm{Arg}(\underline Z)=\textrm{Arctg}\bigg(\frac{-1}{RC\omega}\bigg)=-\textrm{Arctg}\bigg(\frac{1}{RC\omega}\bigg)\)
\(-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq 0\)
Circuit R-L-C résonnant
Les trois dipôles en série ont pour impédances complexes :
\(\underline Z_1 = R\)
\(\underline Z_2 = jL\omega\)
\(\underline Z_3=\bigg(\frac{1}{jC\omega}\bigg)\) L'ensemble a donc pour impédance complexe leur somme :
\(\underline Z=R+jL\omega+\frac{1}{jC\omega}=R+j\bigg(L\omega-\frac{1}{C\omega}\bigg)\)
D'où l'impédance du dipôle équivalent :
\(Z=\Vert\underline Z\Vert=\sqrt{R^2+\bigg(L\omega-\frac{1}{C\omega}\bigg)^2}\) et le déphasage entre tension et courant :
\(\displaystyle{\varphi=\textrm{Arg}(\underline Z)=\textrm{Arctg}\bigg(\frac{L\omega-\frac{1}{C\omega}}{R}\bigg)}\)
\(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq+\frac{\pi}{2}}\)
Ce circuit est appelé "résonnant" parce que, lorsque les éléments qui le composent vérifient la relation :
\(L\omega-\frac{1}{C\omega}=0\iff LC\omega^2=1\iff\omega=\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)
l'impédance du circuit passe par un minimum, donc l'intensité est maximale ; on dit qu'il y a résonance en courant dans le circuit. On montre aussi qu'à la résonance, la tension aux bornes de la bobine et celle aux bornes du condensateur sont égales et passent par un maximum (voir les exercices de ce paragraphe). L'étude détaillée de la résonance fait l'objet d'un autre chapitre.