Oscillateur harmonique, oscillations libres

Le condensateur est chargé de telle façon que $q(t = 0) = q_0 > 0$ soit la charge de l'armature positive (rappelons que $q_0 = C~u_C(t = 0)~$) ; l'interrupteur étant ouvert, l'intensité initiale est nulle $i (t = 0)= 0$. A l'instant initial le circuit est fermé.

En choisissant les tensions et l'intensité instantanées comme indiqué sur le schéma et en exprimant la loi d'Ohm aux bornes des dipôles $L$ et $C$, (compte tenu des conventions de signes des circuits électriques), il vient :

$u_L(t) = u_C(t) \Rightarrow L \frac{di(t)}{dt} = -\frac{1}{C} \int i(t) ~dt$

Sachant que $q(t) = Cu_C(t)$, on en déduit $\frac{dq(t)}{dt} = C \frac{du_C (t)}{dt} = - i(t)$ et $\frac{d^2q(t)}{dt^2} = - \frac{di(t)}{dt}$

On en déduit facilement l'équation en $q : L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$ ou

Cette équation est du type oscillateur harmonique, de pulsation propre

de solution générale $q(t) = q_m \cos (\omega_0 t + \varphi)$ et compte tenu des conditions initiales la solution finale s'écrit

La charge $q(t)$ oscille entre les valeurs $q_0$ et $-q_0$, le condensateur se décharge et se charge alternativement, d'où le nom de circuit oscillant (remarquons qu'il n'y a pas de résistance dans le circuit, il n'y a pas d'amortissement).

On déduit des résultats précédents les équations :

$i(t) = -\frac{dq}{dt} = q_0 \omega_0 \sin \omega_0~t$

$u_L(t) = u_C(t) = L\frac{di}{dt} = L ~q_0 ~\omega^2_0~ \cos \omega_0 t$