Réponse d'un oscillateur [masse-ressort] horizontal
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère un ressort horizontal de raideur \(k\), d'élasticité parfaite, de masse négligeable et dont la longueur à vide est \(l_0\). Une extrémité du ressort est fixe tandis que l'on accroche à l'extrémité libre une masse \(m\), supposée ponctuelle. Celle-ci se déplace horizontalement sans frottement. On écarte la masse de sa position d'équilibre d'une distance positive égale à \(a\) et on lâche la masse avec une vitesse initiale négative \(-v_0\)(avec \(v_0>0\)).
L'équation différentielle qui régit le mouvement de la masse est : \(\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2_0x=0\)
où \(x\) représente la position à l'instant \(t\) de la masse repérée par rapport à sa position d'équilibre.
La solution de cette équation est de la forme\(x(t) = x_{m}\cos(\omega_{0}t + \varphi)\)où\(x_{m}\)représente l'amplitude maximale des oscillations,\(\omega_{0}\), la pulsation propre et\(\varphi\)la phase à\(t = 0\).
On donne :\(k = 75\textrm{N.m}^{-1}\),\(l_{0} = 60\textrm{cm}\),\(m = 5\textrm{kg}\)et\(a = 10\textrm{cm}\).
Calculer les valeurs de la pulsation propre et de la période propre de l'oscillateur.(2 pts)
Calculer la valeur que l'on doit donner à la vitesse initiale pour que l'amplitude des oscillations soit égale à\(\mathrm{10,7} \textrm{cm}\). (2 pts)
Calculer à\(t = 0\), la phase des oscillations. (2 pts)
Tracer le graphe de\(x(t)\) . (4 pts)
Solution
(2 pts) La pulsation et la période des oscillations s'écrivent :
\(\qquad\) \(\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\)et\(T_{0} = \frac{2\pi}{\omega_{0}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)
A.N :\(\omega_{0} = \sqrt{\frac{75}{5}} = \mathrm{3,87}\textrm{rad.s}^{-1}\) \(\qquad\) \(T_{0} = \frac{2\pi}{\mathrm{3,87}} = \mathrm{1,6}\textrm{s}\)
(2 pts) D'après les conditions initiales à\(t = 0\), on a :
\(x(t = 0) = a>0\)
\(v(t = 0) = -v_{0}<0\)
\(\displaystyle{\textrm{Or,}\left\{\begin{array}{ll}x(t = 0) = x_{m}\cos(\varphi)\\v(t = 0) = -\omega_{0}x_{m}\sin(\varphi)\end{array}\right.}\)
On élève au carré, on ajoute les deux expressions et on obtient alors :\(\qquad\) \(a^{2} + \bigg(\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\bigg)^{2} = x_{m}^{2}\)
D'où :\(v_{0} = \omega_{0}\sqrt{x_{m}^{2} - a^{2}}\)
A.N :\(v_{0} = \mathrm{3,87}\sqrt{\mathrm{0,107}^{2} - \mathrm{0,1}^{2}} = \mathrm{0,15}~\textrm{m.s}^{-1}\)
(2 pts) Le calcul de la phase à l'origine s'effectue à partir du système d'équations obtenu à la question précédente :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t = 0) = x_{m}\cos(\varphi) = a\\v(t = 0) =-\omega_{0}x_{m}\sin(\varphi) =-v_{0}\end{array}\right.}\)
En divisant ces deux expressions, on obtient alors simplement :\(\qquad\) \(\tan(\varphi) = \frac{v_{0}}{a~\omega_{0}}\)
\(\displaystyle{\textrm{avec}\left\{\begin{array}{ll}\cos(\varphi)>0 ~~~\textrm{car}~~a>0\\\sin(\varphi) >0\end{array}\right.}\)
A.N :\(\tan({\varphi}) = \frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,1}\times\mathrm{3,87}} = \mathrm{0,387}\Leftrightarrow \varphi = \mathrm{0,37}~\textrm{rad}\)
(4 pts) Pour tracer le graphe de\(x(t)\), on écrit son expression numérique :\(\qquad\) \(x(t) = \mathrm{0,107}~\cos(\mathrm{3,87}t + \mathrm{0,37})\)
Les grandeurs caractéristiques permettant de tracer cette équation sont :
l'amplitude\((x_{m} = \mathrm{0,107}\textrm{m})\),
la période\((T_{0} =\mathrm{1,6}\textrm{s} )\),
la phase à l'origine qui permet de déterminer\(x(t = 0) = \mathrm{0,107}\cos(\mathrm{0,37}) = \mathrm{0,1}\textrm{m}\).
