Lorsque le liquide est hors équilibre, la section du tube étant uniforme, toutes les particules de liquide ont une vitesse\(\vec{v}\). Le module de la vitesse, noté\(v\), s'écrit alors :\(\qquad\) \(v = \frac{dx}{dt}\)
L'énergie cinétique,\(E_{c}\), du fluide est :
\(E_{c} = \frac{1}{2}m\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^{2}\)(1 pt)
On considère que l'on passe de l'équilibre\((x = 0)\)à la situation à l'instant\(t\)en élevant de\(x\)dans le champ de pesanteur une colonne de fluide de hauteur\(x\)et de section\(s\). L'énergie potentielle,\(E_{p}\) , s'écrit :
\(E_{p} = \textrm{masse}~\times~\textrm{accélération de la pesenteur}~\times~\textrm{hauteur} = \stackrel{\textrm{masse}}{\stackrel{ \uparrow }{(\rho sx)}}gx = \rho sgx^{2}\)(1 pt)
La conservation de l'énergie nous permet d'écrire alors :\(\qquad\) \(E_{c} + E_{p} =\textrm{cste}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}m\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^{2}+\rho sgx^{2} = \rho sgx_{0}^{2}\)(1 pt)
En dérivant par rapport au temps les deux membres de l'équation précédente nous obtenons :
\(2\times\frac{1}{2}m\frac{dx}{dt}\times\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\rho sgx\times\frac{dx}{dt} = 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{2\rho sg}{m}x = 0\)(3 pts)
On reconnaît alors l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique. La pulsation propre de cet oscillateur est déterminée à partir de :\(\qquad\) \(\omega_{0}^{2} = \frac{2\rho sg}{m}\)
La période propre est donc :
\(T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2\rho gs}}\)(2 pts)
