Système [masse, ressort] vertical
Partie
On se propose d'étudier l'équilibre puis les oscillations libres d'un système masse - ressort.
La masse \(m,\) supposée ponctuelle est accrochée à l'extrémité inférieure d'un ressort vertical (raideur \(k,\) longueur à vide \(l_{0},\) masse négligeable, élasticité parfaite) dont l'autre extrémité \(O_{1}\) est fixe.
On suppose que la masse ne peut se déplacer que verticalement.
La position de l'extrémité inférieure du ressort, donc de la masse \(m,\) est repérée par rapport à l'axe vertical descendant \(O_{1} \vec{e}_{y}.\)
L'allongement d'un ressort est défini par la différence entre la longueur instantanée \(l(t)\) et la longueur à vide du ressort \(l_{0}:\Delta l(t) = l(t) - l_{0}.\) C'est une grandeur algébrique (étirement et compression du ressort).
La force de rappel (ou force élastique) exercée par le ressort sur la masse s'écrit : \(\vec{F}_{r} =- k \Delta l(t) \vec{e}\)
( \(\vec{e}\) vecteur unitaire relatif au déplacement de la masse)
Question
Étude de l'équilibre :
Établir la condition d'équilibre et définir la longueur \(l_{e}\) du ressort à l'équilibre
Par la suite on notera cette position d'équilibre \(O.\)
Aide simple
Ecrire le principe fondamental de la mécanique appliqué à \(m.\)
Définir l'allongement à l'équilibre.
En déduire la condition d'équilibre et la longueur du ressort à l'équilibre.
Solution détaillée
Le principe fondamental de la mécanique indique que si un solide ou un point matériel est en équilibre, la somme des forces qui lui sont appliquées est nulle.
Pour ce qui est de la masse \(m,\) les forces appliquées sont d'une part son poids \(\vec{P},\) d'autre part la force de rappel \(\vec{F}_{e}\) exercée par le ressort à l'équilibre, donc : \(\vec{P} + \vec{F}_{e} = \vec{0}.\)
L'allongement du ressort à l'équilibre est noté \(\Delta l_{e} = l_{e} - l_{0}\), la force qu'il exerce sur la masse est alors \(\vec{F}_{e} = -k \Delta l_{e}\) \(\vec{e}_{y} = -k(l_{e} - l_{0})\vec{e}_{y}.\)
Le poids est également dirigé suivant la verticale \(\vec{P} = mg \vec{e}_{y}.\)
L'équilibre est donc réalisé si \(\vec{P} + \vec{F}_{e} = mg \vec{e}_{y} - k(l_{e} - l_{0})\vec{e}_{y} = \vec{0}.\)
Cette équation vectorielle se projette sur la direction \(\vec{e}_{y}\) (ce qui consiste à faire le produit scalaire de chacun des membres par le vecteur unitaire \(\vec{e}_{y}\)) : \(mg ~\vec{e}_{y}.\vec{e}_{y} - k(l_{e}-l_{0})\vec{e}_{y}.\vec{e}_{y} = \vec{0}.\vec{e}_{y}.\)
En rappelant que \(\vec{e}_{y}.\vec{e}_{y} = 1,\) on obtient l'équation : \(mg-k (l_{e} - l_{0}) = 0.\)
De cette équation on déduit la longueur du ressort à l'équilibre : \(l_{e} = l_{0} + \frac{mg}{k}\)
Avec les notations proposées, on peut donc écrire \(\overrightarrow{O_{1}O} = l_{e}\vec{e}_{y}.\)
Question
Étude des oscillations libres :
A \(t=0\) la masse est écartée de sa position d'équilibre d'une distance \(a >0\) et est lâchée avec une vitesse initiale négative de norme \(v_{0},\) donc \(\vec{v}(t=0)=-v_{0}\vec{e}_{y}.\)
On désigne :
par \(Y\) la variable qui repère la position instantanée, notée \(M,\) de la masse \(m\) par rapport à \(O_{1} : Y = \overline{O_{1}M}\)
et par \(y\) la variable qui repère la position instantanée de \(m\) par rapport à sa position d'équilibre notée \(O : y = \overline{OM}\)
Établir l'équation différentielle du mouvement satisfaite par \(y.\)
Montrer que le système étudié est un oscillateur harmonique dont on donnera la pulsation et la période propre.
Écrire la solution générale \(y\) de l'équation et déterminer les constantes compte-tenu des conditions initiales.
En déduire l'expression de \(Y.\)
Aide simple
1. Exprimer l'allongement du ressort en fonction de la position instantanée de \(m\) notée \(Y=\overline{O_{1}M}.\)
2. Puis exprimer cet allongement en fonction de \(y=\overline{OM},\) position instantanée de \(m\) définie par rapport à la position d'équilibre.
3. Exprimer la force exercée par le ressort sur la masse en fonction de \(y\)
4. Ecrire le principe fondamental de la mécanique, en déduire l'équation différentielle du mouvement compte-tenu de la condition d'équilibre.
Solution détaillée
En mouvement, l'allongement instantané du ressort s'exprime \(\Delta l = l(t) - l_{0} = Y - l_{0},\) en remarquant que \(l(t) = \overline{O_{1}M}(t) = Y.\)
Il existe une relation simple entre les grandeurs \(Y\) et \(y\) ; \(Y = \overline{O_{1}M}(t) = \overline{O_{1}O} + \overline{OM}(t).\) Par définition \(\overline{O_{1}O} = l_{e}\) et \(y = \overline{OM}(t),\) donc \(Y = l_{e} + y\) et \(\Delta l = (l_{e} - l_{0}) + y.\)
La force exercée par le ressort sur la masse s'écrit \(\vec{F}_{r} = -k ~\Delta l ~\vec{e}_{y} = - k (y+ l_{e} - l_{0}) \vec{e}_{y}.\)
Le principe fondamental de la mécanique appliqué maintenant à \(m\) dans le cas du mouvement permet d'écrire : \(\vec{F}_{r} + \vec{P} = m \vec{\gamma},\) où \(\vec{\gamma}\) désigne l'accélération du point \(M\) par rapport à un repère supposé galiléen (équation du mouvement). En projection sur l'axe vertical, l'équation du mouvement s'écrit :
\((\vec{P} + \vec{F}_{r}). \vec{e}_{y} = m \vec{\gamma} . \vec{e}_{y}\)
\(mg - k(l_{e} - l_{0}) - k y = m y''\) (en remarquant que \(Y'' = y''\) et \(\vec{\gamma} = y'' . \vec{e}_{y}\)).
En tenant compte de la relation d'équilibre, \(mg - k(l_{e} - l_{0}) = 0\) l'équation différentielle s'écrit : \(y'' + \frac{K}{m} y = 0\)
On reconnaît l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \(\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}},\) de période \(T = \frac{2 \pi}{\omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}.\) La solution générale de l'équation différentielle (équation horaire du mouvement) s'exprime par \(y = y_{m} \cos (\omega_{0} t + \varphi)\): on en déduit la vitesse \(y' = -\omega_{0} y_{m} \sin(\omega_{0} t + \varphi).\)
Les autres formes de solution sont également valables.
Les conditions initiales s'écrivent :
\(y(t=0) = y_{m} \cos \varphi = a\) et \(y'(t=0) = - \omega_{0} y_{m} \sin \varphi = -v_{0}\)(rappel : \(v_{0} > 0\)).
On extrait de ces relations \(\cos \varphi = \frac{a}{y_{m}}\) et \(\sin \varphi = \frac{v_{0}}{\omega_{0}~y_{m}}.\)
En élevant au carré ces deux expressions et en les additionnant membre à membre, on déduit \(y_{m} = \sqrt{a^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}}.\)
En faisant le quotient des ces expressions, il vient \(\tan \varphi = \frac{v_{0}}{a \omega_{0}}\) (avec ici \(\cos \varphi >0\)).
On peut à présent en conclure, sachant que \(Y = l_{e} + y\) :
\(Y(t) = (l_{0} + \frac{mg}{k} ) + y_{m} \cos (\omega_{0} t + \varphi)\)
Question
Application numérique
On donne \(l_{0} = 60 \textrm{cm},\) \(k = 10^{3} \textrm{Nm}^{-1},\) \(m = 20 \textrm{kg},\) \(a=10\textrm{cm},\) \(v_{0} = \textrm{0,1 ms}^{-1}.\)
Calculer la longueur du ressort à l'équilibre.
Calculer les caractéristiques de l'oscillateur (pulsation et période propres, amplitude, phase).
Donner les expressions de \(y(t)\) et \(Y(t).\) Tracer le graphe de \(y(t).\)
Solution détaillée
Longueur à l'équilibre \(l_{e} = l_{0} + \frac{mg}{k} = \mathrm{0,6} + \frac{20 \times \mathrm{9,81}}{1000} = \textrm{0,79 m}\)
Pulsation \(\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1000}{20}} = \textrm{7,07 rad s}^{-1}\)
Période propre \(T_{0} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = \mathrm{6,28} \sqrt{\frac{20}{1000}} = \textrm{0,88 s}\)
Amplitude \(y_{m} = \sqrt{a^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}}} = \sqrt{(\mathrm{0,1})^{2} + \frac{(\mathrm{0,1})^{2}}{(\mathrm{7,07})^{2}}} = \textrm{0,101 m}\)
Phase \(\varphi : \tan \varphi = \frac{\mathrm{0,1}}{\mathrm{0,1} \times \mathrm{7,07}} = \mathrm{0,14}.\)
On en déduit \(\varphi = \textrm{0,14 rad modulo } \pi\)
On lève l'incertitude sur \(\varphi\) en remarquant que le déplacement initial \(a\) est positif, donc \(\cos \varphi>0,\) donc \(\varphi = \textrm{0,14 rad}.\)
Finalement l'équation horaire s'écrit en employant les unités S.I. :
\(y(t) = \mathrm{0,101} \cos(\mathrm{7,07} t + \mathrm{0,14} )\)
ou \(Y(t) = \mathrm{0,79} + \mathrm{0,101 } \cos(\mathrm{7,07} t + \mathrm{0,14})\)
