1. A tout instant la \(d.d.p.\) aux bornes de \(L\) est égale à celle aux bornes de \(C\) : \(u_{L} = u_{C}\) ou \(u_{L} - u_{C} = 0.\)
Compte tenu du choix du sens de l'intensité et des conventions habituelles de signe, il vient :
\(u_{L} = L \frac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} \), \(\qquad\) \(u_{C} = - \frac{1}{C} \int i \textrm{ d}t\)
\(\Rightarrow L \frac{\textrm{d}i}{\textrm{d} t} + \frac{1}{C} \int i \textrm{ d}t = 0 \) \(\qquad\) \((1)\)
Utilisons la variable \(q,\) sachant que \(q = C u_{C} = - \int i \textrm{ d}t,\) \(\frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t} = -i\) et \(\frac{\textrm{d}^{2}q}{\textrm{d}t^{2}} = - \frac{\textrm{d} i }{\textrm{d}t}.\)
L'équation (1) conduit à : \(\frac{\textrm{d}^{2}q}{\textrm{d}t^{2}} + \frac{1}{LC}q = 0.\)
Cette équation a la forme de celle de l'oscillateur harmonique \(q''+\omega_{0}^{2} q = 0,\) de pulsation propre \(\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}},\) dont la solution générale s'écrit \(q(t) = q_{m} \cos(\omega_{0} t + \varphi).\)
Les constantes sont déterminées à partir des conditions initiales, \(q(t=0) = q_{0}\) et \(i(t=0) = q'(t=0)=0.\)
Ce qui permet d'écrire \(q_{0} = q_{m} \cos \varphi\) et \(0 = - \omega_{0} q_{m} \sin \varphi.\)
On en déduit \(\sin \varphi = 0\) et \(q_{m} = q_{0},\) d'où \(\varphi = 0,\) \(\cos \varphi\) devant être positif.
La charge obéit donc à la loi d'évolution \(q(t) = q_{0} \cos \frac{1}{\sqrt{LC}}t.\)
Remarquons que l'intensité est telle que \(i = - \frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t} = q_{0} \frac{1}{\sqrt{LC}} \sin \frac{1}{\sqrt{LC}}t.\)
2. Energie emmagasinée :
L'énergie électrique totale est égale à la somme des énergies emmagasinées sous formes magnétique dans la bobine et électrique dans le condensateur :
\(E = E_{L}(t) + E_{C}(t) = \frac{1}{2} L i^{2} + \frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\)
Dans un circuit \((L,C)\) non amorti, l'énergie électrique totale se conserve. Elle est déterminée par la charge \(q_{0}\) du condensateur à l'instant \(t=0,\) l'intensité étant nulle à cet instant : \(E = \frac{1}{2}\frac{q_{0}^{2}}{C}.\)
L'intensité est maximale lorsque toute l'énergie est sous forme magnétique, donc si \(E\) représente l'énergie totale, alors \(i_{max} = \sqrt{\frac{2E}{L}}.\)
3. Application numérique :
De la relation \(\omega_{0} = 2 \pi f_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) on déduit \(f_{0}^{2} = \frac {1}{4 \pi^{2}LC}.\)
Soit avec les données de l'exercice, \(f_{0}^{2} = 10^{12}\) et \(f_{0} = 10^{6} \textrm{ Hz} = 1 \textrm{ MHz}.\)
L'énergie électrique totale a pour valeur à l'instant \(t = 0\) :
\(E = \frac{1}{2}\frac{q_{0}^{2}(t=0)}{C} = \frac{1}{2}\frac{(\mathrm{4,7} . 10^{-9})^{2}}{47 . 10^{-12}} = \mathrm{0,235} . 10 ^{-6} \textrm{ J}\)
L'intensité maximale est \(i_{max} = \sqrt{\frac{2E}{L}} = \sqrt{\frac{q_{0}^{2}}{LC}} = \mathrm{30,6} . 10^{-3} \textrm{A}.\)
