Energie de l'oscillateur mécanique
Partie
Question
On mesure la période propre \(T_{0}\) et l'amplitude \(x_{m}\) du mouvement d'une masse \(m = \textrm{0,2 kg}\) accrochée à l'extrémité libre d'un ressort horizontal de raideur \(k.\) Le mouvement se fait sans frottement.
On fera les applications numériques avec les valeurs \(T_{0} = \textrm{0,10 s}\) et \(x_{m} = \textrm{0,75 m}.\)
La position d'équilibre du système masse-ressort définit l'origine des élongations, l'énergie potentielle correspondante est choisie nulle.
L'énergie mécanique \(E\) de l'oscillateur varie-t-elle au cours du mouvement ?
Exprimer à un instant \(t,\) en fonction de l'élongation \(x(t)\) et de \(\dot{x}(t),\) la répartition de l'énergie \(E\) en deux formes d'énergie.
Exprimer l'énergie \(E\) en fonction des données du problème \(m,\) \(\omega_{0},\) \(x_{m},\) ou \(k,\) \(x_{m}.\)
Calculer la valeur numérique de \(E.\)
En déduire la valeur de la raideur \(k\) du ressort.
Quelle est la valeur maximale de l'énergie potentielle ?
Quelle est la valeur de l'énergie cinétique correspondante ?
Quelle est la valeur maximale de l'énergie cinétique ?
Quelle est la valeur de l'énergie potentielle correspondante ?
Rappel de cours
Energie mécanique de l'oscillateur harmonique non amorti
L'énergie mécanique, constante, de l'oscillateur non amorti est proportionnelle au carré de l'amplitude \(x_{m}\) des oscillations. Elle s'exprime sous les formes : \(E = \frac{1}{2} m ~\omega_{0}^{2}~x_{m}^{2}\) ou \(E = \frac{1}{2}k~x_{m}^{2}.\)
Ces résultats supposent que l'énergie potentielle \(E_{p}\) est nulle à l'équilibre.
Solution détaillée
L'oscillateur est non amorti, son énergie se conserve au cours du temps.
A un instant donné, l'élongation vaut \(x(t),\) la vitesse est alors \(\dot{x}(t),\) l'énergie mécanique est alors répartie entre les deux formes : énergie cinétique et énergie potentielle :
\(E = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} m ~\dot{x}^{2} + \frac{1}{2}k ~x^{2}\)
L'énergie d'un oscillateur peut s'exprimer sous l'une des formes : \(E = \frac{1}{2}m ~\omega_{0}^{2} ~x_{m}^{2}\) ou \(E = \frac{1}{2} k~x_{m}^{2}.\)
Ces deux expressions sont déterminées à une constante près. Conventionnellement cette constante est choisie nulle lorsque l'énergie potentielle \(E_{p}\) est nulle à l'équilibre (l'élongation étant définie à partir de cette position d'équilibre).
L'application numérique utilisant la première de ces formes conduit à :
\(E = \frac{1}{2} \mathrm{0,2} \times \frac{4 \pi^{2}}{\mathrm{0,1}^{2}} \times \mathrm{0,75}^{2} = 222 \textrm{ joules}\)
La raideur du ressort est donnée par la seconde forme de \(E\) :
\(k = \frac{2 E}{x_{m}^{2}} =\frac{2 \times 222}{\mathrm{0,75}^{2}} = 789 \textrm{ N m}^{-1}\)
L'énergie mécanique est entièrement sous forme d'énergie potentielle lorsque la vitesse est nulle (donc l'élongation maximale), l'énergie potentielle maximale est donc \(E_{pot,max} = E.\)
L'énergie cinétique est alors nulle.
L'énergie cinétique maximale est égale à l'énergie mécanique totale, elle est obtenue quand l'énergie potentielle est minimale ; par convention l'énergie potentielle est nulle à la position d'équilibre du ressort.