Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal
Le ressort est caractérisé par sa raideur \(k\) et par sa longueur à vide (sans déformation) \(l_0\).
A l'équilibre
La masse \(m\) est en \(O\), \(\overline{O_1O} = l_e\) (ici \(l_e = l_0\)).
Les forces de pesanteur et de réaction normale s'équilibrent : \(\vec P + \vec R_n = \vec 0\).
Mise en mouvement
La masse \(m\) est en \(A\).
Les conditions initiales sont la position \(x_0 = \overline{OA}\) (positive ou négative), et la vitesse initiale, soit nulle \(( x'_0 = 0)\) soit positive ou négative \(( x'_0 \ne 0)\).
En mouvement à un instant t
La masse \(m\) est en \(M\).
On repère la position de \(m\) par rapport à la position d'équilibre \(O\) soit \(\overline{OM}(t) = x(t)\).
Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique à \(m\) :
\(\vec P + \vec R_n + \vec F_r + \vec F_d = m \vec\gamma\)
où \(\vec F_d\) est une force dissipative, force représentant l'amortissement ; si l'on suppose que l'amortissement est de type visqueux la force \(\vec F_d\) est proportionnelle à la vitesse et de sens opposé à celle-ci, on la note \(\vec F_d = - \mu \vec v\) (\(\mu\) coefficient constant positif).
\(\vec F_d\) correspond à une force de frottement.
Projetons l'équation vectorielle précédente sur l'axe \((O, \vec e_x)\), \(\vec P\) et \(\vec R_n\) étant orthogonaux à l'axe, il vient :
\(\vec F_r . \vec e_x + \vec F_d . \vec e_x = m ~\vec \gamma . \vec e_x\)
\(\Rightarrow -kx - \mu x' = mx''\)
\(\Rightarrow x''+ \frac{\mu}{m}x'+\frac{k}{m}x=0\)
On pose \(\frac{\mu}{m} = 2 \lambda\) et \(\frac{k}{m} = \omega_0^2\).
On constate que l'équation différentielle précédente est du type oscillateur harmonique amorti de coefficient d'amortissement \(\lambda = \frac{\mu}{2 m }\) et de pulsation propre \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\).