Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

A tout instant la différence de potentiel aux bornes de \(C\) est égale à la somme des différences de potentiel aux bornes de \(R\) et de \(L\) :

\(u_{C} = u_{R} + u_{L}\) ou \(u_{R} + u_{L} - u_{C} = 0\)

Compte tenu du choix du sens de l'intensité et des règles de signes habituelles :

\(u_{R} = R ~i\), \(u_{L} = L \frac{\textrm{d} i}{\textrm{d} t}\) \(\qquad\) et \(\qquad\) \(u_{C} = - \frac{1}{C} \int ~i ~\textrm{d} t \Rightarrow R i + L \frac{d i} {d t} + \frac{1}{C} \int ~i ~\textrm{d} t = 0\) (1)

Représentation du circuit à un instant t

• En dérivant l'équation (1) par rapport au temps et en ordonnant, on en déduit l'équation en « intensité » : \(\frac{\textrm{d}^{2} i }{\textrm{d}t^{2}} + \frac{R}{L} \frac{\textrm{d}i}{\textrm{d} t} + \frac{1}{LC} i = 0\) (2)

• Introduisons la charge instantanée \(q(t)\) du condensateur.

  Sachant que \(q = C ~u_{C}\), compte tenu de l'expression précédente de \(u_{C}\), on en déduit :

\(q = - \int i \textrm{ d} t\), \(\frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t} = -i\), \(\frac{\textrm{d}^{2}q}{\textrm{d}t^{2}} = - \frac{\textrm{d} i }{\textrm{d}t}\)

L'équation (1) conduit à l'équation relative à la « charge » : \(\frac{\textrm{d}^{2}q}{\textrm{d} t^{2}} + \frac{R}{L} \frac{\textrm{d}q}{\textrm{d} t} + \frac{1}{LC}q = 0\) (3)

On constate que les équations (2) et (3) décrivent un oscillateur harmonique amorti caractérisé par le coefficient d'amortissement \(\lambda = \frac{R}{2 L}\) et la pulsation propre \(\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}\).

Le discriminant réduit relatif à l'équation (2) ou à l'équation (3) s'écrit :

\(\Delta ' = \sqrt{\lambda^{2} - \omega_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{R^{2}}{4 L^{2}} - \frac{1}{LC}}\)

Le régime est :

• apériodique si \(\Delta ' >0\) , soit si \(\frac{R}{2L} > \frac{1}{\sqrt{LC}}\) ou \(R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\)

• critique si \(\Delta ' = 0\), soit si \(R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\)

• pseudo-périodique si \(\Delta ' < 0\), soit si \(R< 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\)

Dans le cas du régime pseudo-périodique, la solution générale de l'équation (3) s'écrit : \(q(t) = q_{m} e^{-\lambda t} \cos (\omega_{1} t + \varphi)\), la pseudo-pulsation s'écrivant \(\omega_{1} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}}\).

Les conditions initiales \(q(t = 0) = q_{0}\) et \(i(t = 0) = - \bigg(\frac{\textrm{d}q}{\textrm{d}t} \bigg) _{t = 0}=0\) ou \(q'(t = 0) = 0\) permettent de calculer les deux constantes \(q_{m}\) et \(\varphi\).

La méthode est classique (calcul de \(q_{m} \cos \varphi\) et de \(q_{m} \sin \varphi\), puis élimination de \(\varphi\)). On obtient les résultats : \(q_{m} = \sqrt{q_{0}^{2} + \frac{\lambda^{2}}{\omega_{1}^{2}}}\) et \(\tan \varphi = \frac{- \lambda}{\omega_{1}}\) ( \(\varphi\) modulo \(\pi\) et \(\cos \varphi = \frac{q_{0}}{q_{m}} >0\) ) en rappelant que \(\lambda = \frac{R}{2L}\) et \(\omega_{1} = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4 L^{2}}}\).

L'intensité se déduit de la relation \(i(t) = - \frac{\textrm{d} q(t)}{\textrm{d}t}.\) Remarquons que \(i(t)\) peut être calculé directement à partir de l'équation (2) compte tenu des conditions initiales.

La définition du facteur de qualité étant \(Q = \frac{\omega_{0}}{2 \lambda}\) (ou \(\omega_{0} \tau_{r}\)), il vient \(Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\).