Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal soumis à une excitation sinusoïdale
Considérons le système amorti [masse, ressort] horizontal soumis à une excitation sinusoïdale.
Nous distinguons deux types d'excitation : excitation en force et excitation en déplacement.
Excitation en force
Le système est soumis à la force d'excitation \(\overrightarrow{F_{exc}}\) appliquée directement à la masse \(m\). Dans le cas d'une force excitatrice sinusoïdale, d'amplitude \(F_m\) et de pulsation \(\Omega\), celle-ci s'écrit : \(\overrightarrow{F_{exc}} = F_m ~\cos ~\Omega ~t ~\vec {e_x}\).
Appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique à la masse \(m\) :
\(\vec P + \vec R_n + \vec F_r + \vec F_d + \overrightarrow{F_{exc}} = m \vec{\gamma}\)
En projetant l'équation vectorielle sur la direction \(\vec e_x\) et en utilisant les notations habituelles (\(k\), \(\mu\), position d'équilibre \(O\) et \(x(t) = \overline{OM}(t)\) ), on obtient l'équation différentielle décrivant les oscillations de \(m\) :
\(x" + \frac{\mu}{m}x' + \frac{k}{m}x = \frac{F_m}{m} \cos~ \Omega~ t\)
On rappelle que \(\frac{\mu}{m} = 2 \lambda\) et \(\frac{k}{m} = \omega_0^2\). Le second membre s'écrit ici \(h(t) = \frac{F_m}{m} \cos~ \Omega~t\).
L'équation différentielle ci-dessus est du type oscillateur harmonique forcé amorti de coefficient d'amortissement \(\lambda = \frac {\mu}{2 m}\) et de pulsation propre \(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\).
Excitation en déplacement
Le système est soumis à un déplacement appliqué à l'extrémité \(O_1\) du ressort, de telle sorte que l'ensemble du système se déplace suivant un mouvement de translation rectiligne de direction \(\vec e_x\).
Dans le cas d'une excitation sinusoïdale, le déplacement d'amplitude \(A_m\) et de pulsation \(\Omega\) s'écrit : \(x_{O_1}(t) = A_m \cos~ \Omega~t\)
Le référentiel lié au système n'est pas galiléen, l'écriture du P.F.D. fait intervenir une force d'inertie d'entraînement appliquée à \(m\), force jouant le rôle d'une force d'excitation.
On montre dans ce cas que l'équation différentielle relative aux oscillations de \(m\) s'écrit :
\(x" + \frac{\mu}{m}x' + \frac{k}{m}x = A_m \Omega^2 \cos ~\Omega ~t\)
où \(x(t) = \overline{OM}(t)\), \(O\) étant la position d'équilibre repérée par rapport au système lui-même.
On remarque que l'équation différentielle ci-dessus est du type oscillateur harmonique forcé amorti.
Exemples de systèmes soumis à une excitation en déplacement :
sismographe,
véhicule se déplaçant sur une route ondulée.
Dans ces deux exemples le déplacement est vertical et la variable utilisée est \(y(t)\).