Etude du régime permanent
Méthode de représentation complexe
Écrivons les correspondances :
\(\begin{array}{lllll} \textrm{grandeur r\'eelle instantan\'ee} & \Leftrightarrow & \textrm{grandeur complexe instantan\'ee} & \Leftrightarrow & \textrm{amplitude complexe} \\\\ \textrm{Il vient :}& & & & \\\\ x(t) & \Leftrightarrow & \underline {x} (t) = x_{pm} e^{j (\Omega t + \Phi_p)} & \Leftrightarrow & \underline {X_{pm}} = x_{pm} e^{j \Phi_p} \\\\ x'(t) & \Leftrightarrow & j \Omega ~\underline {x}(t) & \Leftrightarrow & j \Omega~ \underline{X_{pm}} \\\\ x''(t) & \Leftrightarrow & - \Omega^{2}~\underline{x}(t) & \Leftrightarrow & -\Omega^{2} ~\underline{X_{pm}} \\\\ \frac{F_{m}}{m} \cos \Omega t & \Leftrightarrow & \frac{F_{m}}{m}e^{j \Omega t} & \Leftrightarrow & \frac{F_{m}}{m} \end{array}\)
Déterminons la représentation en amplitude complexe de l'équation différentielle
\(x" + 2 ~\lambda ~x' + \omega_0^2 ~x = \frac{F_m}{m} \cos ~\Omega ~t~~~~(1)\)
Pour cela, remplaçons dans cette équation les grandeurs réelles instantanées par les amplitudes complexes correspondantes :
\(- \Omega^2~\underline{X_{pm}} + 2 ~\lambda ~j ~\Omega~ \underline{X_{pm}} + \omega_0^2~\underline{X_{pm}} = \frac{Fm}{m}~~~~(2)\)
En regroupant les termes et en factorisant dans le membre de gauche le terme \(\underline{X_{pm}}\), nous obtenons l'équation complexe recherchée :
\([(\omega_0^2 - \Omega^2) + j(2 ~\lambda ~\Omega)]~\underline{X_{pm}} = \frac{F_m}{m}\)
Nous en déduisons l'amplitude complexe :
\(\underline{X_{pm}} = \frac{F_m / m}{(\omega_0^2 - \Omega^2) + j (2 ~\lambda ~\Omega)}~~~~(3)\)
(avec \(\underline{X_{pm}} = x_{pm} e^{j \Phi_p}\))
Finalement, l'équation (3), équation entre nombres complexes du type \(\underline{z_1} = \frac{\underline{z_2}}{\underline{z_3}}\), est équivalente aux deux égalités suivantes :
égalité des modules :
\(|z_1| = \frac{|z_2|}{|z_3|}\)
\(\Rightarrow ~ x_{pm} = \frac{F_m / m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2~ \lambda ~\Omega)^2 }}\)
égalité des arguments (détermination principale) :
\(\mathrm{arg}~\underline{z_1} = \mathrm{arg}~\underline{z_2} - \mathrm{arg}~\underline{z_3} \Rightarrow \Phi_p = 0 - Arc \tan \frac{2~ \lambda ~\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}\) ou
\(\tan ~\Phi_p = \frac{- 2 ~\lambda ~\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}\)
Les termes \(x_{pm}\) et \(\Phi_p\) sont ainsi calculés en fonction des données du système \(\lambda\), \(\omega_0\), \(m\), \(F_m\) et \(\Omega\), la réponse \(x(t)\) de l'oscillateur en régime permanent est déterminée.
Remarque : Autre méthode de calcul
On écrit la représentation complexe instantanée de l'équation différentielle (1). Les grandeurs réelles instantanées sont remplacées dans ce cas par les grandeurs complexes instantanées correspondantes. L'équation complexe obtenue est :
\([(\omega_0^2 - \Omega^2) + j (2 \lambda \Omega)] x_{pm}~ e^{j(\Omega t + \Phi_p)} = \frac{F_m}{m}e^{j \Omega t}\)
Cette équation est vérifiée à tout instant t, en simplifiant les deux membres par le terme temporel \(e^{j ~\Omega~t}\), on retrouve l'équation (2) et par suite l'équation (3) du calcul précédent.
Les deux méthodes conduisent aux mêmes résultats, la représentation en amplitude complexe est plus directe. Il est conseillé d'utiliser cette représentation.
Cas où \(\overrightarrow{F_{exc}} = F_m \cos (\Omega t + \Phi) \vec e_x\)
L'équation différentielle (1) s'écrit : \(x" + 2 ~\lambda ~x' + \omega_0^2 x = \frac{F_m}{m} \cos (\Omega t + \Phi)\)
La solution cherchée est : \(x(t) \approx x_p(t)=x_{pm} \cos (\Omega t + \Phi_p)\).
La représentation en amplitude complexe du second membre s'écrit : \(\frac{F_m}{m}e^{j \Phi}\), et par suite la représentation de l'équation différentielle conduit au résultat :
\(x_{pm} ~e^{j \Phi_p} = \frac{F_m/m}{(\omega_0^2 - \Omega^2) + j(2~ \lambda~ \Omega)}e^{j \Phi}\)
d'où : \(\Phi_p = Arc \tan \frac{-2~ \lambda ~\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2} + \Phi\), l'expression de \(x_{pm}\) est inchangée.
Méthode algébrique
L'équation différentielle \(x" + 2 ~\lambda ~x' + \omega_0^2 ~x = \frac{F_m}{m} \cos ~\Omega t~~\) (1) admet pour solution en régime permanent \(x(t) = x_{pm} ~\cos (\Omega t + \Phi_p)\).
Calculons \(x'(t) = - \Omega x_{pm} \sin (\Omega ~ t + \Phi_p)\) et \(x"(t) = - \Omega^2 ~x_{pm} ~\cos (\Omega ~t + \Phi_p)\).
En reportant ces expressions et en regroupant les termes en cosinus dans l'équation (1), celle-ci s'écrit :
\((\omega_0^2 - \Omega^2) x_{pm} ~\cos (\Omega t + \Phi_p) - 2 ~\lambda ~\Omega ~x_{pm} \sin (\Omega t + \Phi_p) = \frac{F_m}{m} \cos ~\Omega ~t\)
Cette équation est valable quelle que soit la valeur de \(t\) et donc quelle que soit la valeur de \(\Omega t\), écrivons qu'elle est vérifiée pour les deux valeurs particulières \(\Omega t = 0\) et \(\Omega t = \frac{\pi}{2}\). Nous obtenons respectivement les équations :
\(\Omega t = 0 \Rightarrow (\omega_0^2 - \Omega^2) x_{pm}~ \cos(\Phi_p) - 2~ \lambda~\Omega~ x_{pm}~ \sin (\Phi_p) = \frac{F_m}{m}~~\)(3)
\(\Omega t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow (\omega_0^2 - \Omega^2)~ x_{pm} ~\cos (\frac{\pi}{2} + \Phi_p) - 2 \lambda ~\Omega ~x_{pm}~ \sin (\frac{\pi}{2} + \Phi_p) = \frac{F_m}{m} \cos \frac{\pi}{2}\)
soit : \(-(\omega_0^2 - \Omega^2) x_{pm} ~\sin (\Phi_p) - 2 ~\lambda ~\Omega ~x_{pm}~ \cos (\Phi_p) = 0\) (4)
Le déphasage \(\Phi_p\) est déterminé à partir de l'équation (4) :
\(\tan \Phi_p = \frac{-2 ~\lambda~ \Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}\)
L'amplitude \(x_{pm}\) est déterminée est déterminée à partir des équations (3) et (4). Pour cela il faut calculer les expressions de \(\cos(\Phi_p)\) et de \(\sin(\Phi_p)\) à partir de ces équations, puis utiliser la relation classique \(\cos^2 (\Phi_p) + \sin^2(\Phi_p) = 1\). Le calcul conduit à l'expression :
\(x_{pm} = \frac{F_m / m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + (2 ~\lambda ~\Omega)^2}}\)
Les termes \(x_{pm}\) et \(\Phi_p\) sont ainsi calculés en fonction des données du système \(\lambda\), \(\omega_0\), \(m\), \(F_m\) et \(\Omega\). On retrouve les résultats obtenus par la méthode de la représentation en amplitude complexe, la réponse \(x(t)\) de l'oscillateur en régime permanent est déterminée.