Préliminaires

Notations

Dans toute la suite :

  • \(\mathbf{E}\) désigne un espace vectoriel sur les complexes \(\mathbf{C}\).

  • \(\overline{\mathcal{F}(y, x)}\) désigne le complexe conjugué de \(\mathcal{F}(y,x)\) (attention à l'ordre des variables \(y\) et \(x\)).

Définitions

Définition

(1) Une forme Hermitienne \(\mathcal{F}\) sur un espace vectoriel \(\mathbf{E}\) est une application de \(\mathbf{E}*\mathbf{E}\) dans \(\mathbf{C}\) qui possède les deux propriétés suivantes :

  • \(\overline{\mathcal{F}(y, x)} = \mathcal{F}(x,y)\) (l'ordre des variables pour la fonction est l'inverse de l'ordre pour la conjuguée)

  • \(\mathcal{F}\) est linéaire par rapport à la première variable.

Exemple

Soit \(\mathbf{E}\) l'espace vectoriel des fonctions continues de période \(T\), et soit \(f \in \mathbf{E}\), \(g \in \mathbf{E}\).

On peut alors définir la forme Hermitienne \(\mathcal{F}\) :

\(\displaystyle{\mathcal{F} (f,g) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) . \overline{g(t)} . \mathrm{d}t}\) sous réserve que cette intégrale existe.

Définition

(2)

  • La forme \(\mathcal{F}\) est alors appelée produit scalaire et notée : \(\mathcal{F} (f,g) = \langle f | g \rangle\)

  • La forme \(\mathcal{F}\) étant positive, on définit la norme de \(\mathcal{F}\) : \(|| \mathcal{F} || = \sqrt{\langle f | f \rangle}\)

  • L'espace préhilbertien \(\mathbf{E}\) des fonctions \(f\) continues de période \(T\) est celui des fonctions de module carré sommable sur l'intervalle \([0,T]\).

Une forme Hermitienne \(\mathcal{F}\) est définie positive si : \(~~ \mathcal{F}(f,f) > 0 ~~~~~~ \forall f~\#~0\) (\(f \in \mathbf{E}\))

Définition

(3) Un espace vectoriel muni d'une forme hermitienne définie positive \(\mathcal{F}\) est dit préhilbertien.

\(\displaystyle{\langle f | f \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) . \overline{f(t)} . \mathrm{d}t}\)

Définition

(4) On dit que les fonctions \(f\) et \(g\) sont orthogonales si : \(\langle f | g \rangle = 0\)

Définition

(5) Soit : \(f \in \mathbf{E}\), \(\mathbf{E}\) un espace vectoriel préhilbertien et \(( e^{(1)}, e^{(2)}, ... , e^{(n)})\) une base orthonormée de \(\mathbf{E}\).

La composante \(f_q\) de \(f\) sur le vecteur de base \(e^{(q)}\) est : \(f_q = \langle f | e^{(q)} \rangle\)

Propriétés

Propriété

(1) Si \(q\) désigne la suite des entiers positifs ou négatifs multiples d'un entier \(q_1\), la suite des fonctions \(e^{(q)}(\theta) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q.\theta}\) forme un ensemble orthonormé.

Démonstration

On utilise la définition \((3)\) de la norme et la définition \((4)\) de l'orthogonalité.

Soient \(q_m\) et \(q_n\) deux valeurs de \(q\) multiples de \(q_1\).

Notons par exemple : \(q_m= m.q_1\) et \(q_n= n.q_1\)\(m\) et \(n\) sont deux entiers.

Notons \(T = \frac{2 . \pi}{q_1}\) la période de la fonction exponentielle imaginaire \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_1.\theta}\) .

\( \displaystyle{\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_m.\theta} | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_n.\theta} \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_m.\theta} . \mathrm{e}^{-\mathrm{i}.q_n.\theta} . \mathrm{d}\theta = \frac{1}{T} \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i}.(q_m - q_n).\theta} . \mathrm{d}\theta}\)

Alors :

  • \(q_m = q_n ~~~~ \Rightarrow ~~ \displaystyle{\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_m.\theta} | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_n.\theta} \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \mathrm{d}\theta = 1}\)

  • \(q_m \ne q_n ~~~~ \Rightarrow ~~\displaystyle{\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_m.\theta} | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_n.\theta} \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i}.(m - n).q_1.\theta} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{T} \int_0^T \mathrm{e}^{\mathrm{i} . 2 \pi . \frac{m-n}{T}. \theta}\mathrm{d}\theta}\)

Mais \(\mathrm{e}^{\mathrm{i} . 2 \pi . \frac{m-n}{T}. \theta}\) est une fonction de période \(\frac{T}{m-n}\) (sous-multiple de \(T\), car \(m-n\) est un entier) qui reprend donc les mêmes valeurs en \(0\) et en \(T\).

\(\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_m.\theta} | \mathrm{e}^{\mathrm{i}.q_n.\theta} \rangle = 0\)

Propriété

(2) L'ensemble orthonormé des \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.q.\theta}\) est total, il constitue une base orthonormée du préhilbertien \(\mathbf{E}\).

(propriété admise sans démonstration)

Théorème

Théorème

(1) Soient \(\mathbf{E}\) un préhilbertien, et \(e(q)\) une base orthonormée. Alors : \(\forall f \in \mathbf{E}\),

\(\displaystyle{f = \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} f_q . e^{(q)} = \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} \langle f | e^{(q)} \rangle ~ e^{(q)}}\)

et \(~~ \displaystyle{||f||^2 = \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} | \langle f | e^{(q)} \rangle} |\)

(théorème admis sans démonstration)

Corollaire

\(\displaystyle{\langle f | g \rangle = \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} f_q . \overline{g_q} = \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} \langle f | e^{(q)} \rangle . \langle e^{(q)} | g \rangle }\)

Démonstration

\(\begin{array}{lll}\langle f | g \rangle & = & \frac{1}{T} \int_0^T f(t) . \overline{g(t)} . \mathrm{d}t \\ & = & \frac{1}{T} \int_0^T \mathrm{ } \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} f_q . e^{(q)} . \overline{g} . \mathrm{d}t \\ & = & \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} f_q . \frac{1}{T} \int_0^T e^{(q)} . \overline{g} . \mathrm{d}t \\ & = & \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} f_q . \overline{g_q} \\ & = & \sum_{q = - \infty}^{q = + \infty} \langle f | e^{(q)} \rangle . \langle e^{(q)} | g \rangle\end{array}\)

L'application du théorème (1) et de son corolaire (avec les fonctions \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}.q.\theta}\) comme fonctions de base) a pour conséquence immédiate le théorème (2).

(voir : Séries de Fourier, paragraphe suivant).