Séries de Fourier : définitions et théorèmes
Définition :
(6) La Série de Fourier d'une fonction F de période T est l'une ou l'autre des séries :
\(\begin{array}{lll} F(t) & = & \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} C_n . \mathrm{e}^{\mathrm{i} . n . \omega_1 . t} \\ \textrm{ou : } F(t) & = & A_0 + \sum_{n = - \infty}^{n = + \infty} A_n . \cos (n . \omega_1 . t) + B_n . \sin (n . \omega_1 . t) \end{array} ~~~~~~ \mathrm{avec } ~~\omega_1 = \frac{2.\pi}{T}\)
Théorèmes de convergence :
Théorème :
(2) Notons \(H\) l'ensemble des fonctions de période T ayant les propriétés :
d'être continues, ou au moins, continues par morceaux dont la réunion fasse une période \(T\),
d'être sur chacun de ces morceaux, convergentes en module carré.
alors :
\(H\) est un espace vectoriel,
l'expression du produit scalaire défini dans l'exemple \((1)\) en fait un espace préhilbertien,
toute fonction \(F\) de ce préhilbertien admet une Série de Fourier qui converge vers \(F\),
sur des fonctions de base données, les coefficients de cette série sont uniques,
en posant : \(\omega_1 = \frac{2 . \pi}{T}\) les coefficients de Fourier sont :
\(\begin{array}{lll} C_n & = & \langle F(t) | \mathrm{e}^{\mathrm{i} . n . \omega_1 . t} \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T F(t) . \mathrm{e}^{-\mathrm{i} . n . \omega_1 . t} \mathrm{d}t \\ A_0 & = & \frac{1}{T} \int_0^T F(t) . \mathrm{d}t \mathrm{ } \mathrm{ } \textrm{ (valeur moyenne de la fonction } F \textrm{ sur une p\'eriode)} \\ A_n & = & \frac{2}{T} \int_0^T F(t) . \cos ( n . \omega_1 . t) . \mathrm{d} t \\ B_n & = & \frac{2}{T} \int_0^T F(t) . \sin ( n . \omega_1 . t) . \mathrm{d} t \end{array}\)
Théorème :
(3) Si la série des coefficients est absolument convergente, la série de Fourier converge normalement vers une fonction continue.
Théorème :
(4) Si \(F\) est continue par morceaux et à dérivée bornée sur chacun des morceaux, la Série de Fourier est convergente et égale à la valeur de \(F\), en tout point sauf éventuellement aux points de discontinuité.