Exemple d'action d'un opérateur
Durée : 5 mn
Note maximale : 3
Question
Soient\(\widehat{\textrm{A}}\)et\(\Psi\)un opérateur et une fonction définis comme suit :
\(\widehat{\textrm{A}} =\frac{ \partial}{ \partial x} \)et\(\Psi(x)=x^{3} + 2 x^{2} + 1\)
Déterminer le résultat de l'action de l'opérateur\(\frac{ \partial}{ \partial x}\)sur la fonction\(\Psi\).
Solution
L'opérateur\(\widehat{\textrm{A}}\)est un opérateur différentiel qui dérive une fois la fonction \(\Psi\) :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}}(x^{3} + 2 {x}^{2} + 1) = \frac{ \partial}{ \partial x}(x^{3} + 2 x^{2} + 1)}\)
\(\mathrm{\frac{ \partial}{ \partial x}(x^{3} + 2 x^{2} + 1) = \frac{ \partial}{ \partial x}x^{3} +\frac{ \partial}{ \partial x} 2 x^{2} +\frac{ \partial}{ \partial \textrm{x}} 1 = 3x^{2} + 4x}\)
\(\mathrm{\frac{ \partial}{ \partial x}(x^{3} + 2 x^{2} + 1) = 3x^{2} + 4x}\)
Le résultat est la nouvelle fonction\(\Phi\)définie par
\(\Phi(x) =\mathrm{ 3x^{2} + 4x}\)