Exemple n°3 d'action d'un opérateur
Durée : 10 mn
Note maximale : 3
Question
L'opérateur noté\(\widehat{\textrm{H}}\)est la somme de deux opérateurs tels que :
\(\widehat{\textrm{H}} = \widehat{\textrm{T}} + \widehat{\textrm{V}}\)
où les autres opérateurs sont
\(\mathrm{\widehat{\textrm{T}} = - \frac{h^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}}\)et\(\mathrm{\widehat{\textrm{V}}(\textrm{x}) = \frac{1}{2}kx^{2}}\)
Déterminer le résultat de l'action de l'opérateur\(\widehat{\textrm{H}}\)sur une fonction\(\Psi(\textrm{x})\).
On appellera\(\Psi^{(1)}(\textrm{x})\)et\(\Psi^{(2)}(\textrm{x})\)les dérivées première et seconde de \(\Psi(\textrm{x})\).
Solution
\(\mathrm{\widehat{\textrm{A}}\Psi(x) = \widehat{\textrm{H}}\Psi(x) = \big( \widehat{\textrm{T}} + \widehat{\textrm{V}} \big) \Psi(x)}\)
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}\Psi(x) = \big( \widehat{\textrm{T}} + \widehat{\textrm{V}} \big) \Psi(x) = \widehat{\textrm{T}} \Psi(x) + \widehat{\textrm{V}} \Psi(x)}\)
\(\mathrm{\bigg(- \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}} + \frac{1}{2}kx^{2} \bigg)\Psi(x) = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}} \Psi(x) + \frac{1}{2}kx^{2} \Psi(x)}\)
Sachant que l'opérateur\(\frac{ \partial^{2}}{ \partial \textrm{x}^{2}}\) est le produit des deux opérateurs \(\frac{ \partial}{ \partial \textrm{x}}\)
\(\mathrm{\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}} =\frac{ \partial}{ \partial x} \bigg(\frac{ \partial}{ \partial x}\bigg)}\)
L'action de l'opérateur\(\widehat{\textrm{T}}\)sur la fonction adéquate\(\Psi(\textrm{x})\)s'écrit :
\(\mathrm{- \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial^{2}}{ \partial x^{2}}\Psi(x) = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial}{ \partial x}\bigg[\frac{ \partial}{ \partial x}\Psi(x)\bigg] = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial}{ \partial x}\Psi^{(1)}(x) = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi^{(2)}(x)}\)
Il vient alors :
\(\mathrm{\widehat{\textrm{H}}\Psi(x) = - \frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi^{(2)}(x) + \frac{1}{2}kx^{2}\Psi(x)}\)
Le résultat est la nouvelle fonction\(\Phi\)définie par :
\(\mathrm{\Phi(x) = \frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi^{(2)}(x) + \frac{1}{2}kx^{2}\Psi(x)}\)
Remarque : on notera que l'opérateur\(\widehat{\textrm{V}}(\textrm{x})\)s'identifie avec la fonction\(\textrm{V}(\textrm{x})\)
\(\textrm{V}(x) = \frac{1}{2}\mathrm{kx}^{2}\)