L'équation d'indiscernabilité
La fonction d'onde des deux particules 1 et 2 est une fonction des coordonnées d'espace et de spin de 1 et 2 ; elle est notée \(\Psi(1,2)\). Son module au carré donne la densité de probabilité de présence simultanée de la particule 1 à un endroit donné avec un spin donné et de la particule 2 à un autre endroit avec un spin donné.
\(\mathbf{\mid\Psi(1,2)\mid^2=\textrm{Densité de probabilité de présence simultanée}}\)
L'indiscernabilité des particules impose que la densité de probabilité de présence soit la même si on intervertit les deux particules :
On doit donc avoir
\(\mathbf{\mid\Psi(1,2)\mid^2=\mid\Psi(2,1)\mid^2}\)
Ce qui conduit aux deux possibilités :
\(\begin{array}{lll} \Psi(1,2) & = & \Psi(2,1) \\ & \textrm{ou} & \\\Psi(1,2)&=&-\Psi(2,1) \end{array}\)
La fonction d'onde doit donc être symétrique ou antisymétrique vis-à-vis de l'échange des deux particules. La première possibilité s'applique au cas des bosons (particules de spin entier) ; la seconde aux fermions (particules de spin demi-entier).
Les électrons sont des fermions.
On peut généraliser aux cas de \(\textrm N\) particules identiques, et on obtient pour n'importe quelle paire \(\mathrm{(p,q)}\) parmi les \(\textrm N\) particules :
pour les fermions
\(\mathbf{\Psi(1,2,...,p,...,q,...,N)=-\Psi(1,2,...,q,...,p,...,N)}\)
pour les bosons
\(\mathbf{\Psi(1,2,...,p,...,q,...,N)=\Psi(1,2,...,q,...,p,...,N)}\)
Ces équations se rajoutent à l'équation de Schrödinger.
Les électrons étant des fermions, leur fonction d'onde doit être antisymétrique. Elle change de signe lorsque l'on intervertit les coordonnées de deux quelconques d'entre eux.