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Problème
Le test comporte 1 questions :
Problème
La durée indicative du test est de 30 minutes.
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Problème

Le but de ce problème est de déterminer les applications de dans telles que pour tout couple de réels , on a et

  1. Montrer que et conviennent.

  2. Montrer que .

    On suppose désormais que .

  3. Déterminer sur puis sur .

  4. Montrer que est inclus dans , puis que est strictement croissante

  5. En déduire que la seule application qui convienne est l'identité.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Problème
  1. et conviennent clairement.

  2. une récurrence donne alors le résultat .

  3. L'égalité précédente montre que et est impaire car .

    De plus : car étant non nulle, il existe tel que est non nul et

    On en déduit que pour tout de .

    Soit maintenant un rationnel alors donc .

    [4 points]

  4. Soit un réel strictement positif, alors et est également un carré non nul donc strictement positif. Soit et tels que alors donc et est croissante, strictement.

    [4 points]

  5. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe tel que soit différent de , supposons par exemple . Comme est dense dans , il existe un rationnel tel que et comme est croissante cela implique ce qui est contradictoire.

    Donc la seule application qui convienne est l'identité.

    [4 points]

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Bilan
Nombre de questions :1
Score obtenu :/12
Seuil critique :8
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :30 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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