Mathématiques
Précédent
Suivant
Test
Le test comporte 5 questions :
Egalités à epsilon près
Recherche de bornes sup et inf (1)
Recherche de bornes sup et inf (2)
Exercice plus théorique (1)
Exercice plus théorique (2)
La durée indicative du test est de 29 minutes.
Commencer
Egalités à epsilon près

Que peut-on dire d'un nombre réel tel que :

Recherche de bornes sup et inf (1)

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de la partie de définie par :

et étant deux réels donnés.

Recherche de bornes sup et inf (2)

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de la partie de définie par :

.

Exercice plus théorique (1)

Soient et deux parties de non vides et telles que : .

  1. Montrer l'existence de et .

  2. Montrer que .

  3. Montrer l'équivalence .

  4. Donner un exemple d'ensembles et satisfaisant 3).

Exercice plus théorique (2)

Le but de cet exercice est de montrer qu'un corps totalement ordonné dans lequel toute partie non vide majorée admet une borne supérieure est archimédien.

Soit un corps totalement ordonné dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure et et deux éléments quelconques tels que .

On considère la partie ,

  1. Montrer que ne peut pas être majorée,

  2. En déduire que est archimédien.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Egalités à epsilon près
  1. Le nombre est plus petit que tout nombre positif donc il est négatif ou nul :

    [1point]

  2. Le nombre est à la fois plus petit que tout nombre positif et plus grand que tout nombre négatif, donc .

    [1 point]

  3. Le nombre est strictement plus grand que -4 et négatif ou nul :

    [1 point]

0
1
2
3
Recherche de bornes sup et inf (1)

Il faut discuter suivant le signe de puisqu'on aura à multiplier une inégalité par

i. si

ii. si et et

iii. si et et

Remarque
  1. en (ii) on a : aussi :

  2. en (iii) on a : aussi :

    [3 points]

0
1
2
3
Recherche de bornes sup et inf (2)

n'est pas majorée car pour tout positif , on peut trouver tel que ; en effet , il suffit de prendre . N'étant pas majorée, n'a pas de borne supérieure.

[2 points]

En revanche, est minorée par 0 donc admet une borne inférieure d'après le théorème de la borne inférieure. Montrons que la borne inférieure de est 0 . Il suffit de montrer que pour tout réel strictement positif y, il existe un élément de tel que : ,

c'est à dire qu'il existe un réel tel que . Il suffit de prendre car et . Donc .

[2 points]

0
1
2
3
4
Exercice plus théorique (1)
  1. L'existence de repose sur le théorème de la borne supérieure : est non vide majorée par tout élément de donc admet une borne supérieure, l'argument est analogue pour .

    [1 point]

  2. Tout élément de est un minorant de donc est supérieur ou égal à tout élément de donc est un majorant de donc .

    [3 points]

  3. Supposons alors , et

    donc .

    Réciproquement, supposons : , les inégalités :

    et entraînent :

    , donc .

    [3 points]

  4. Des exemples d'ensembles et satisfaisant la condition 3) sont donnés par deux intervalles ayant une borne commune par exemple et ou encore les sous-ensembles et , dans ce cas .

Remarque

On rencontre de tels sous-ensembles quand on construit par la méthode des coupures.

[2 points]

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Exercice plus théorique (2)
  1. Si était majorée, elle aurait une borne supérieure ;

    donc serait un majorant, ce qui est impossible.

    [3 points]

  2. n'étant pas majorée, n'est pas un majorant donc et est archimédien.

    [2 points]

0
1
2
3
4
5
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/24
Seuil critique :16
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :29 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)