Recherche de bornes sup et inf (2)
Durée : 5 mn
Note maximale : 4
Question
Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de la partie \(A\) de \(\mathbb R\) définie par :
\(\displaystyle{A=\left\{\frac{1}{x-1} ; x>1\right\}}\).
Solution
\(A\) n'est pas majorée car pour tout \(M\) positif , on peut trouver \(x\) tel que \(\displaystyle{\frac{1}{x-1}>M}\) ; en effet , il suffit de prendre \(\displaystyle{x>1+\frac{1}{M}}\). N'étant pas majorée, \(A\) n'a pas de borne supérieure.
[2 points]
En revanche, \(A\) est minorée par 0 donc admet une borne inférieure d'après le théorème de la borne inférieure. Montrons que la borne inférieure de \(A\) est 0 . Il suffit de montrer que pour tout réel strictement positif y, il existe un élément \(\displaystyle{a=\frac{1}{x-1}}\) de \(A\) tel que : \(0 < a < y\),
c'est à dire qu'il existe un réel \(x>1\) tel que \(\displaystyle{\frac{1}{x-1}<y}\). Il suffit de prendre \(\displaystyle{x>1+\frac{1}{y}}\) car \(y>0\) et \(x>1\). Donc \(\textrm{inf }A = 0\).
[2 points]