Exercice plus théorique (2)

Durée : 6 mn

Note maximale : 5

Question

Le but de cet exercice est de montrer qu'un corps totalement ordonné dans lequel toute partie non vide majorée admet une borne supérieure est archimédien.

Soit \(\mathbf K\) un corps totalement ordonné dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure et \(a\) et \(b\) deux éléments quelconques tels que \(0<a<b\).

On considère la partie \(A=\{na, n\in\mathbb N\}\),

  1. Montrer que \(A\) ne peut pas être majorée,

  2. En déduire que \(\mathbf K\) est archimédien.

Solution

  1. Si \(A\) était majorée, elle aurait une borne supérieure \(M\) ;

    \(\forall n\quad(n+1)a\le M\Rightarrow\forall n\quad na\le M-a\) donc \(M-a\) serait un majorant, ce qui est impossible.

    [3 points]

  2. \(A\) n'étant pas majorée, \(b\) n'est pas un majorant donc \(\exists n\in\mathbb N ; na>b\) et \(\mathbf K\) est archimédien.

    [2 points]