Recherche de bornes sup et inf (1)

Durée : 3 mn

Note maximale : 3

Question

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de la partie \(A\) de \(\mathbb R\) définie par :

\(A=\{ax+b ;x\in[-2,1[\}\)

\(a\) et \(b\) étant deux réels donnés.

Solution

Il faut discuter suivant le signe de \(a\) puisqu'on aura à multiplier une inégalité par \(a\)

i. si \(a = 0\quad\textrm{sup }A = \textrm{inf }A = b\)

ii. si \(a>0\quad A=[-2a+b,a+b[\) et \(\textrm{sup }A=a+b\) et \(\textrm{inf }A=-2a+b\)

iii. si \(a < 0 A = ]a+b, -2a+b]\) et \(\textrm{sup }A=-2a+b\) et \(\textrm{inf }A = a+b\)

Remarque

  1. en (ii) on a : aussi : \(-2a+b =\textrm{min }A\)

  2. en (iii) on a : aussi : \(-2a+b =\textrm{max }A\)

    [3 points]