Les Réels

L'existence de \(\textrm{sup }A\) repose sur le théorème de la borne supérieure : \(A\) est non vide majorée par tout élément de \(B\) donc admet une borne supérieure, l'argument est analogue pour \(\textrm{inf }B\).

[1 point]

Tout élément \(x\) de \(A\) est un minorant de \(B\) donc \(\textrm{inf }B\) est supérieur ou égal à tout élément de \(A\) donc \(\textrm{inf }B\) est un majorant de \(A\) donc \(\textrm{sup }A\le\textrm{inf }B\).

[3 points]

Supposons \(\textrm{sup }A=\textrm{inf }B=m\) alors , \(\displaystyle{\forall x>0\quad\exists x\in A\quad\exists y\in B\quad x>m-\frac{\epsilon}{2}}\) et \(\displaystyle{m+\frac{\epsilon}{2}>y}\)

donc \(\forall\epsilon>0\quad\exists x\in A\quad\exists y\in B\quad0<y-x<\epsilon\).

Réciproquement, supposons : \(\forall\epsilon>0\quad\exists x\in A\quad\exists y\in B\quad|x-y|<\epsilon\), les inégalités :

\(x\le\textrm{sup }A \le\textrm{inf }B \le y\) et \(y-x<\epsilon\) entraînent :

\(\forall\epsilon>0\quad0\le\textrm{inf }B-\textrm{sup }A\le\epsilon\), donc \(\textrm{sup }A=\textrm{inf }B\).

[3 points]

Des exemples d'ensembles \(A\) et \(B\) satisfaisant la condition 3) sont donnés par deux intervalles ayant une borne commune par exemple \([0,1]\) et \([1, 3]\) ou encore les sous-ensembles \(A=\{ r\in\mathbb Q ; r^2-2\le0\}\) et \(B=\{r\in\mathbb Q ; r^2-2\ge0\}\), dans ce cas \(\textrm{sup }A=\textrm{inf }B=\sqrt{2}\) .