Problème

Durée : 30 mn

Note maximale : 12

Question

Le but de ce problème est de déterminer les applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) telles que pour tout couple de réels \((x,y)\), on a \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) et \(f(x.y)=f(x).f(y)\)

  1. Montrer que \(f=0\) et \(f=\textrm{Id}\) conviennent.

  2. Montrer que \(\forall(n,x)\in\mathbb N\times\mathbb R,~f(nx)=nf(x)\).

    On suppose désormais que \(f\ne0\).

  3. Déterminer \(f\) sur \(\mathbb Z\) puis sur \(\mathbb Q\).

  4. Montrer que \(f(\mathbb R^+)\) est inclus dans \(\mathbb R^+\), puis que \(f\) est strictement croissante

  5. En déduire que la seule application qui convienne est l'identité.

Solution

  1. \(f=0\) et \(f=\textrm{Id}\) conviennent clairement.

  2. \(f(x+x)=2f(x)\) une récurrence donne alors le résultat .

  3. L'égalité précédente montre que \(f(0)=0\) et \(f\) est impaire car \(f(x-x)=f(x)+f(-x)=0\).

    De plus : \(f(1)=1\) car \(f\) étant non nulle, il existe \(x\) tel que \(f(x)\) est non nul et \(f(1.x)=f(x)=f(1).f(x)\)

    On en déduit que pour tout \(p\) de \(\mathbb Z\) \(f(p)=p\) .

    Soit maintenant un rationnel \(\displaystyle{\frac{p}{q}}\) alors \(\displaystyle{f\left(q.\frac{p}{q}\right)=f(q).f\left(\frac{p}{q}\right)=f(p)=p}\) donc \(\displaystyle{f\left(\frac{p}{q}\right)= \frac{p}{q}}\) .

    [4 points]

  4. Soit \(x\) un réel strictement positif, alors \(x=\left(\sqrt{x}\right)^2\) et \(f(x)\) est également un carré non nul donc strictement positif. Soit \(x\) et \(y\) tels que \(x<y\) alors \(f(y-x)>0\) donc \(f(y)>f(x)\) et \(f\) est croissante, strictement.

    [4 points]

  5. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe \(a\) tel que \(f(a)\) soit différent de \(a\), supposons par exemple \(f(a)<a\). Comme \(\mathbb Q\) est dense dans \(\mathbb R\), il existe un rationnel \(r\) tel que \(f(a)<r<a\) et comme \(f\) est croissante cela implique \(f(r)=r<f(a)\) ce qui est contradictoire.

    Donc la seule application qui convienne est l'identité.

    [4 points]