Suite extraite
Extraire une suite d'une suite donnée c'est prendre, dans l'ordre, certains termes de la suite.
Définition : Suite extraite
Soit \((u_n)\) une suite réelle ; on appelle suite extraite de \((u_n)\) une suite obtenue en composant \((u_n)\) avec une application \(\phi\) strictement croissante de \(\mathbb N\) dans \(\mathbb N\).
On obtient ainsi la suite \((v_n)\) où \(v_n=u_{\phi(n)}\).
Exemple :
Soit \((u_n)\) une suite réelle ;
soit : \(\phi_1 :\mathbb N \to\mathbb N, n\mapsto 2n\) la suite extraite obtenue est la suite des termes d'indice pair ;
soit : \(\phi_2 :\mathbb N \to\mathbb N, n\mapsto 2n+1\) la suite extraite obtenue est la suite des termes d'indice impair. Ainsi si l'on considère la suite \(\bigg(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\bigg)_{n\geq 2}\) , la suite des termes d'indice pair est la suite \(\bigg(\frac{1}{2n+\sqrt{2n}}\bigg)_{n\geq 1}\) , la suite des termes d'indice impair est \(\bigg(\frac{1}{2n+1-\sqrt{2n+1}}\bigg)_{n\geq 1}\) .
De même la suite \((2^{n !})\) est extraite de la suite \((2^n)\), l'application \(\phi\) étant l'application \(n\mapsto n!\).