Théorèmes algébriques
Théorème

Soient et deux suites convergentes de limite respective et ; les suites et ,si , , définie alors à partir d'un certain rang, sont convergentes et ont pour limites respectives .

Preuve

On donne la preuve seulement pour le produit, les deux autres étant analogues. (On remarque toutefois en ce qui concerne le quotient que la condition entraîne que est non nul et garde un signe constant à partir d'un certain rang.)

On veut montrer que:

La démonstration repose sur une majoration de utilisant les majorations de et .

On écrit donc :

La suite étant convergente est bornée; si l'on note un majorant de , on a donc:

.

Les conditions et entraînent

Le majorant étant non nul, si , on pose alors, pour tout , on aura .

Si on prend .

Dans le langage de l'algèbre linéaire ce théorème démontre, en particulier, que l'ensemble des suites convergentes est un sous espace vectoriel de (il suffit de considérer la suite comme produit de la suite constante dont tous les termes sont égaux à , par la suite et que l'application

est une forme linéaire (cf cours d'algèbre).

Sur le plan pratique il permet d'étudier certaines suites en les décomposant.

Exercice : vrai ou faux

La somme de deux suites divergentes est divergente.

Vrai ou faux?

Réponse : faux, car la somme de toute suite (par exemple divergente) et de son opposée est la suite nulle qui est convergente.

On déduit immédiatement du théorème précédent que l'ensemble des suites convergentes dont la limite est nulle est un sous-espace vectoriel de . Par ailleurs pour les suites de on a le théorème suivant.

Théorème

Soient et deux suites réelles; on suppose que est convergente et a pour limite et que est bornée, alors la suite est convergente et a pour limite

Preuve

La suite est proche de à partir d'un certain rang . La suite est bornée à partir d'un certain rang . On considère .

En effet :

Soit ; la suite étant bornée il existe un réel tel que :

La suite ayant une limite nulle, on a :

d'où l'on déduit, en posant .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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