Théorèmes algébriques
Théorème :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites convergentes de limite respective \(l_1\) et \(l_2\) ; les suites \(\displaystyle{(u_n)+(v_n),(u_n)(v_n)}\) et ,si \(l_2\neq0\), \(\frac{(u_n)}{(v_n)}\), définie alors à partir d'un certain rang, sont convergentes et ont pour limites respectives \(\displaystyle{l_1+l_2, l_1l_2, \frac{l_1}{l_2}}\).
Preuve :
On donne la preuve seulement pour le produit, les deux autres étant analogues. (On remarque toutefois en ce qui concerne le quotient que la condition \(l_2\neq0\) entraîne que \(v_n\) est non nul et garde un signe constant à partir d'un certain rang.)
On veut montrer que:
\(\displaystyle{\forall\epsilon>0 ,\exists N\in\mathbb N,\forall n\in\mathbb N\quad (n\geq \mathbb N\Rightarrow\vert u_nv_n-l_1l_2\vert<\epsilon)}\)
La démonstration repose sur une majoration de \(\vert u_nv_n-l_1l_2\vert\) utilisant les majorations de \(\vert u_n-l_1\vert\) et \(\vert v_n-l_2\vert\).
On écrit donc :
\(\displaystyle{u_nv_n-l_1l_2=u_n(v_n-l_2)+l_2(u_n-l_1)}\)
La suite \((u_n)\) étant convergente est bornée; si l'on note \(M\) un majorant de \(\vert u_n\vert\), on a donc:
\(\displaystyle{\vert u_nv_n-l_1l_2\vert}\leq M\vert v_n-l_2\vert+\vert l_2\vert\vert u_n-l_1\vert\).
Les conditions \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}v_n=l_2}\) et \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=l_1}\) entraînent
\(\displaystyle{\forall\epsilon_2>0\quad\exists N_2(\epsilon_2),\forall n\in\mathbb N\quad (n\geq N_2(\epsilon_2)\Rightarrow\vert v_n-l_2\vert<\epsilon_2)}\)
\(\displaystyle{\forall\epsilon_1>0\quad\exists N_1(\epsilon_1),\forall n\in\mathbb N\quad (n\geq N_1(\epsilon_1)\Rightarrow\vert u_n-l_1\vert<\epsilon_1)}\)
Le majorant \(M\) étant non nul, si \(l_2\neq0\), on pose \(\displaystyle{N = \textrm{ max }\left(N_1\left(\frac{\epsilon}{2l_2}\right),N_2\left(\frac{\epsilon}{2M}\right)\right)}\) alors, pour tout \(n\geq \mathbb N\), on aura \(\vert u_nv_n-l_1l_2\vert<\epsilon\).
Si \(l_2=0\) on prend \(\displaystyle{N =N_2\left(\frac{\epsilon}{2M}\right)}\) .
Dans le langage de l'algèbre linéaire ce théorème démontre, en particulier, que l'ensemble \(C(\mathbb N,\mathbb R)\) des suites convergentes est un sous espace vectoriel de \(\mathbb R^{\mathbb N}\) (il suffit de considérer la suite \(\lambda(u_n)\) comme produit de la suite constante dont tous les termes sont égaux à \(\lambda\) , par la suite \((u_n)\) et que l'application
\(\displaystyle{C(\mathbb N,\mathbb R)\to\mathbb R\quad(u_n)\mapsto\lim_{n\to+\infty}u_n}\)
est une forme linéaire (cf cours d'algèbre).
Sur le plan pratique il permet d'étudier certaines suites en les décomposant.
Exercice : vrai ou faux
La somme de deux suites divergentes est divergente.
Vrai ou faux?
Réponse : faux, car la somme de toute suite \((u_n)\) (par exemple divergente) et de son opposée \(-(u_n)\) est la suite nulle qui est convergente.
On déduit immédiatement du théorème précédent que l'ensemble \(C_0(\mathbb N,\mathbb R)\) des suites convergentes dont la limite est nulle est un sous-espace vectoriel de \(C(\mathbb N,\mathbb R)\). Par ailleurs pour les suites de \(C(\mathbb N,\mathbb R)\) on a le théorème suivant.
Théorème :
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites réelles; on suppose que \((u_n)\) est convergente et a pour limite \(0\) et que \((v_n)\) est bornée, alors la suite \((u_n)(v_n)\) est convergente et a pour limite \(0.\)
Preuve :
La suite \(\vert u_n\vert\) est proche de \(0\) à partir d'un certain rang \(N_1\). La suite \((v_n)\) est bornée à partir d'un certain rang \(N_2\). On considère \(N=\textrm{ max }(N_1,N_2)\) .
En effet :
Soit \(\epsilon>0\); la suite \((v_n)\) étant bornée il existe un réel \(M\) tel que :
\(\displaystyle{\exists N_1,\forall n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N_1\Rightarrow\vert v_n\vert\leq M)}\)
La suite \((u_n)\) ayant une limite nulle, on a :
\(\displaystyle{\exists N_2,\forall n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N_2\Rightarrow\vert u_n\vert<\frac{\epsilon}{M})}\)
d'où l'on déduit, en posant \(N=\textrm{ max }(N_1,N_2)\) .
\(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N\Rightarrow\vert u_nv_n\vert<\epsilon)}.\)