Suites adjacentes
Définition

Deux suites et sont dites adjacentes si les conditions suivantes sont vérifiées:

  1. est croissante, décroissante

Théorème

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite.

Preuve

C'est une application du théorème sur les suites monotones .

Les conditions 1. et 2. entraînent la convergence des suites et en effet :

les inégalités : entraînent que est majorée, elle est croissante, elle est donc convergente;

les inégalités : entraînent que est minorée, elle est décroissante, elle est donc convergente.

Il y a alors (une fois la convergence établie ) équivalence entre les égalités

et .

L'intérêt des suites adjacentes provient en partie du fait qu'elles fournissent une suite d'encadrements de leur limite commune.

Remarque

Le fait que la suite est majorée est donné par l'inégalité : ( est un réel fixe) et non , de même pour la minoration de par .

Exemple : Exemple où la convergence est rapide

Les suites et définies par

qui encadrent sont des suites adjacentes.

On a en effet   et  d'où ;

les inégalités sont donc vérifiées.

Supposons qu'on ait : ,

on en déduit :

et

Les conditions 1. et 2. sont donc vérifiées.

La dernière inégalité entraîne, par ailleurs

d'où par une récurrence immédiate

La condition 3. est vérifiée. Les suites et sont adjacentes. Elles ont donc même limite.

L'égalité entraîne alors l'implication: on a donc

La limite commune ne peut être que .

On remarque que la suite n'est autre que la suite définie au paragraphe 1.1. On remarque également que la convergence des deux suites vers leur limite commune est très rapide car :

Exemple : Exemple où la convergence est lente

Soient et les suites définies par

et

.

Les suites et sont adjacentes, en effet on a :

la condition 1. est vérifiée, la condition 2. l'est également de façon évidente.

Formons on a d'où la condition 3. On verra ultérieurement (cours sur les développements limités) que la limite commune de ces deux suites est . L'égalité montre que, à la différence de l'exemple précédent, la convergence est lente.

la condition 1. est vérifiée, la condition 2. l'est également de façon évidente.

Formons on a d'où la condition 3. On verra ultérieurement (cours sur les développements limités) que la limite commune de ces deux suites est . L'égalité montre que, à la différence de l'exemple précédent, la convergence est lente.

Exemple : Approximation décimale d'un réel

Les approximations décimales à près par défaut et par excès d'un réel , non décimal, constituent des suites adjacentes dont la limite est (cf cours sur les Réels). En effet soit, pour tout et respectivement l'approximation décimale par défaut et par excès de à près.

On a et .

Les inégalités

entraînent immédiatement que les conditions 1., 2. et 3. sont vérifiées.

Légende :
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