Définitions
Comme dans les sections précédentes on désignera par\( \mathcal I\) un intervalle de \(\mathbf R\) non vide ni réduit à un point et par \(f\) une application de \(\mathcal I\) dans \(\mathbf R\) .
Définition :
Une partie \(\mathcal E\) de\( \mathbf R^2\) est dite convexe lorsque, quels que soient les points \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) de \(\mathcal E\), elle contient le segment \([\mathcal A,\mathcal B]\).
Le graphe \(\mathcal C_f\) d'une fonction \(f\) est défini par : \(\displaystyle{\mathcal C_f=\{(x,y)\in\mathcal I\times\mathbf R,y=f(x)\}}\)
On appelle épigraphe la partie de \(\mathcal I\times\mathbf R\) notée\( \mathcal E_f\) et définie par : \(\displaystyle{\mathcal E_f=\{(x,y)\in\mathcal I\times\mathbf R,y\geq f(x)\}}\).
Définition :
Soit\( f\) une application d'un intervalle\( \mathcal I\) dans\( \mathbf R\) ; on dit que l'application\( f\) est convexe si, quels que soient \((x_1,x_2)\in\mathcal I^2\) et \(\lambda\in[0,1]\) on a :
\(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f()\).
Cette condition exprime que tout arc de\( \mathcal C_f\) est en dessous de sa corde
On représente un fonction \(f\) convexe sur l'intervalle \([a,b]\) et son épigraphe.
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Définition :
On dit que f est concave si \((-f)\) est convexe