Fonctions convexes

Soit \(f\) une fonction convexe et dérivable sur un intervalle\( \mathcal I\) de \(\mathbf R\) . Si \(a\) est un point intérieur à \(\mathcal I\), on a :

\(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I,x< a\quad r_a(x)\leq f'(a)}\)

\(\displaystyle{\forall x\in\mathcal I,x> a\quad r_a(x)\geq f'(a)}\)

Il s'agit d'une conséquence immédiate du théorème précédent.

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathcal I\) ; alors \(f\) est convexe sur \(\mathcal I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(\mathcal I\).

On utilise le lemme pour la condition nécessaire et le théorème des accroissements finis pour la condition suffisante.

Condition nécessaire:

On suppose \(f\) dérivable et convexe sur \(I\), d’après le lemme précédent, on a : \(\forall x_1\in I,\forall x_2\in I,x_1<x_2\Rightarrow(f'(x_1)\le r_{x_1}(x_2)~\textrm{et}~r_{x_2}(x_1)\le f'(x_2))\).

Or \(r_{x_2}(x_1)=r_{x_1}(x_2)\) d'où \(f'(x_1)\le f'(x_2)\).

Condition suffisante :

Quels que soient \((x_1,x_2)\in I^2,x_1<x_2\), et \(\lambda\in]0,1[\), on pose : \(x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\).

On a alors \(x_1 < x < x_2\) ; d’après le théorème des accroissements finis il existe \(c_1\in]x_1,x[\) et \(c_2\in]x,x_2[\) tels que : \(f(x)-f(x_1)=(x-x_1)f'(c_1)\) et \(f(x_2)-f(x)=(x_2-x)f'(c_2)\).

L’inégalité \(c_1< c_2\) entraine alors \(f'(c_1)\le f'(c_2)\) soit \(\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\le\frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}\).

Des égalités \(x-x_1=(1-\lambda)(x_2-x_1)\) et \(x_2-x=\lambda(x_2-x_1)\) on déduit : \(f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\) ;

ceci étant vrai quels que soient \((x_1,x_2)\in I^2\) et \(\lambda\in]0,1[\), la fonction \(f\) est convexe.

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(\mathcal I\) ; \(f\) est convexe sur \(\mathcal I\) si et seulement si \(f''\) est positive sur \(\mathcal I\). Si \(f''\) est négative sur \(\mathcal I\) alors \((-f)\) est convexe et donc \(f\) est concave.

Immédiat