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Convexité et taux d'accroissement
Théorème

Soit une application d'un intervalle dans ; on note

la fonction taux d'accroissement en ; est convexe si et seulement si , pour tout , la fonction est croissante sur .

Preuve

Il faut envisager différents cas suivant les positions respectives de et .

Condition nécessaire

Soit convexe sur ; on considère des points et on suppose ; on cherche à montrer que .

On se place dans le cas ; on a donc , d'où

avec .

L'hypothèse de convexité de entraîne alors :

soit encore, comme :

On a donc finalement :

.

Les autres dispositions relatives de et se traitent de la même façon.

Condition suffisante

On suppose que, pour tout point de la fonction est croissante : on considère des points et de avec ; pour on a :

.

La croissance de la fonction entraîne :

.

On a et , on en déduit :

soit

.

Pour l'égalité est évidente ; est donc convexe sur .

Théorème

Soit une fonction convexe sur un intervalle de . Alors est dérivable à droite et à gauche et donc continue en tout point intérieur à .

Preuve

C'est une application du théorème précédent.

Soit un point intérieur à et soient et des points de vérifiant , la fonction est croissante sur .

Soit un point de , on a .

Quand tend vers à droite croissante et minorée, a une limite et est donc dérivable à droite avec : .

Soit un point de , la fonction étant croissante sur et majorée par admet une limite à gauche en , donc est dérivable à gauche en et on a : .

Remarque

Lorsque est convexe sur un intervalle qui n'est pas ouvert elle n'est pas nécessairement continue aux bornes:

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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