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Caractérisation géométrique
Théorème

Soit une application d'un intervalle dans ; l'application est convexe si et seulement si l'ensemble est convexe

On représente une fonction convexe sur l'intervalle et son épigraphe.

Preuve

On utilise le fait qu'un point d'un segment est barycentre à coefficients positifs des extrémités du segment.

Condition nécessaire

On suppose convexe. Soient et deux points de on a et . Si est un point du segment , alors il existe un réel tel que : .

On a donc : .

L’hypothèse de convexité entraîne alors : ,

d’où et le point appartient à .

Condition suffisante

On suppose que est convexe, ainsi, si et sont des points de , ils appartiennent à et le segment est inclus dans .

Soit \lambda\in[0,1], alors le point appartient au segment et donc à , d’où :

.

Application : Inégalité de Jensen

Soient une fonction convexe sur points de et réels strictement positifs tels que . On a alors :

Preuve

On fait un raisonnement par récurrence sur .

La propriété est vraie pour et . Supposons la propriété vraie pour un rang .

Soient points de et réels strictement positifs tels que .

On définit par l’égalité : , on pose . On a alors :

en raison de la propriété à l’ordre 2 ; d’autre part , d’après l’hypothèse de récurrence, .

On obtient donc .

Remarque

Pour établir la récurrence, il suffit de vérifier que la propriété est vraie au départ pour , mais dans le passage du rang au rang , on utilise le fait que la propriété est vraie pour .

Légende :
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