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Retour à la géométrie

Géométriquement la convexité se traduit par le fait que les cordes sont en dessus du graphe, pour les fonctions dérivables elle se traduit aussi par le fait que les tangentes sont en dessous du graphe

Théorème

Soit une fonction dérivable sur un intervalle ; est convexe sur si et seulement si :

Preuve

On utilise le lemme précédent pour la condition nécessaire.

On utilise le lemme précédent ; on suppose ,on a : d'où

on procède de même pour .

Condition suffisante

Soient ; on a : et , d’où

.

Ces considérations géométriques peuvent conduire à établir des encadrements de fonctions

Exemple

La fonction sinus vérifie :

En effet, la fonction sinus est concave, son graphe est donc au-dessus de la corde joignant le point et le point d'équation , elle est également en dessous de la tangente au point d'équation , d'où l'encadrement.

Légende :
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