Enoncé

On cherche à calculer lorsque . On vient de voir que, dans , la somme et le produit possèdent toutes les propriétés qui permettent de faire des calculs, sauf la commutativité du produit.

Cela pose évidemment des problèmes si l'on souhaite calculer la puissance d'un produit ou celle d'une somme.

En effet, par exemple et on ne peut rien dire de plus si l'on ne sait pas que .

De même,

et, de la même façon, on ne peut rien dire de plus si l'on ne sait pas que .

Donc on ne pourra pas obtenir en général, dans , des formules type " identités remarquables " ou formule du binôme. On saura juste donner un résultat lorsque les matrices considérées commutent entre elles.

Proposition : calcul de(\mathcal A+\mathcal B)^m lorsque \mathcal{AB}=\mathcal{BA}

Soient deux éléments et de qui commutent c'est-à-dire tels que . Alors, pour tout entier naturel , supérieur ou égal à , on a la formule

désigne le coefficient du binôme.

La démonstration se fait par récurrence, en utilisant les propriétés bien connues des coefficients du binôme, à savoir :

et

Malgré l'hypothèse restrictive qui a été nécessaire pour l'établir, cette formule est extrêmement utile dans la pratique.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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