Enoncé

On cherche à calculer\( (\mathcal A+\mathcal B)^m\) lorsque \(\mathcal{AB}= \mathcal{BA}\). On vient de voir que, dans \(\mathcal M_n(_mathbfK)\) , la somme et le produit possèdent toutes les propriétés qui permettent de faire des calculs, sauf la commutativité du produit.

Cela pose évidemment des problèmes si l'on souhaite calculer la puissance d'un produit ou celle d'une somme.

En effet, par exemple\( (\mathcal{AB})^2=\mathcal{ABAB}\) et on ne peut rien dire de plus si l'on ne sait pas que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}\).

De même,\((\mathcal A+\mathcal B)^2=(\mathcal A+\mathcal B)(\mathcal A+\mathcal B)=\mathcal{AA}+\mathcal{AB}+\mathcal{BA}+\mathcal{BB}=\mathcal A^2+\mathcal{AB}+\mathcal{BA}+\mathcal{B}^2\)

et, de la même façon, on ne peut rien dire de plus si l'on ne sait pas que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}\).

Donc on ne pourra pas obtenir en général, dans \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) , des formules type " identités remarquables " ou formule du binôme. On saura juste donner un résultat lorsque les matrices considérées commutent entre elles.

Propositioncalcul de(\mathcal A+\mathcal B)^m lorsque \mathcal{AB}=\mathcal{BA}

Soient deux éléments \(\mathcal A \)et\( \mathcal B\) de qui commutent c'est-à-dire tels que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}\). Alors, pour tout entier naturel \(m\), supérieur ou égal à \(1\), on a la formule

\(\displaystyle{(\mathcal A+\mathcal B)^m=\sum_{k=0}^{k=m}\mathcal C_m^k\mathcal A^{m-k}\mathcal B^k}\)

\(\mathcal C_m^k\) désigne le coefficient du binôme.

La démonstration se fait par récurrence, en utilisant les propriétés bien connues des coefficients du binôme, à savoir :

\(\displaystyle{\mathcal C_{m-1}^{k-1}+\mathcal C_{m-1}^{k}=\mathcal C_{m}^{k}}\) et \(\mathcal C_{m}^{k}=\mathcal C_{m}^{m-k}\)

Malgré l'hypothèse restrictive qui a été nécessaire pour l'établir, cette formule est extrêmement utile dans la pratique.