"Inverse" d'une transformation élémentaire

Pour chacune des transformations décrites ci-dessus, une question se pose : existe-t-il une transformation qui annule l'effet de cette transformation ? La réponse à cette question est donnée par les résultats suivants dont les justifications sont évidentes :

Si on applique deux fois (respectivement ), on trouve la matrice de départ.

Si on applique d'abord (respectivement ), puis

(respectivement ) on trouve la matrice de départ.

Si on applique (respectivement ), puis (respectivement ) on trouve la matrice de départ.

Remarque

Dans tous les cas pour revenir à la matrice de départ, on applique une transformation élémentaire de même nature.

Exemple : Exemple 1

Soit la matrice

Si on applique la transformation élémentaire , cela revient à remplacer la deuxième ligne par , on obtient la matrice

Si on applique la transformation élémentaire à la matrice , on obtient la matrice

Exemple : Exemple 2

Soit la matrice

Si on applique la transformation élémentaire , cela revient à remplacer la troisième colonne par et l'on trouve

Si on applique successivement les transformations élémentaires (sur les colonnes) , on trouve successivement les matrices

Remarque : Ces exemples conduisent aux remarques suivantes

Cette technique donne un procédé pour trouver une matrice "plus simple" que la matrice de départ.

Mais il est clair que pour pouvoir utiliser cette observation, il faut formaliser mathématiquement le procédé c'est-à-dire trouver une relation mathématique entre la matrice de départ et les matrices et . Il faut aussi, pour que ces transformations aient un intérêt, savoir préciser les propriétés de la matrice de départ A qui sont conservées par ces diverses transformations.

Intuitivement il apparaît que le produit de matrices est le bon outil pour y parvenir. C'est ce qui va être développé dans le paragraphe suivant.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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