Théorème de réduction

Ce théorème concerne toutes les matrices, carrées ou non.

Son résultat permet, entre autres, de donner un critère d'inversibilité d'une matrice carrée avec un algorithme de calcul de l'inverse si il y a lieu.

Théorème : Réduction d'une matrice à l'aide des transformations élémentaires

Soient des entiers supérieurs ou égaux à et une matrice de ), non nulle.

Alors, il existe un entier et , et deux matrices  et , telles que :

  • les matrices , appartiennent respectivement à et et sont des produits de matrices élémentaires,

  • on ait l'égalité

Explicitation des notations

désigne la matrice unité d'ordre désigne la matrice nulle à lignes et colonnes

Remarque

Les matrices élémentaires sont des matrices inversibles, donc  et sont aussi des matrices inversibles (leurs inverses sont des produits de matrices élémentaires). D'où une autre façon d'énoncer le théorème précédent

Proposition

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à une matrice de , non nulle.

Alors, il existe un entier supérieur à et inférieur ou égal à et à  tel que soit équivalente à la matrice .

Ici, nous privilégions l'aspect effectif du résultat et insistons sur la démarche algorithmique qui permet de trouver effectivement et  .

C'est pourquoi la preuve calculatoire du théorème, basée sur une démonstration par récurrence, ne sera pas développée car non pratique.

Remarque

La conclusion du théorème donne l'existence de l'entier , mais ne donne aucune indication sur son éventuelle unicité.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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