Démarche algorithmique

Elle va être esquissée dans ses principes et développée sur un exemple.

Puisque la matrice considérée est non nulle, il existe au moins un élément non nul et donc au moins une colonne non nulle.

La première étape, s'il y a lieu, consiste donc par des permutations de colonnes à "amener" en première colonne une colonne non nulle.

La deuxième étape consiste, si cela est nécessaire, à permuter des lignes de manière à avoir comme élément de la première ligne, première colonne un élément non nul.

La troisième étape consiste, en faisant des opérations élémentaires sur les lignes à partir de la première, à se ramener à une matrice dont la première colonne a tous ses éléments nuls sauf le premier, donc une matrice de la forme

avec non nul.

La quatrième étape consiste, en faisant des opérations élémentaires sur les colonnes à partir de la première, à se ramener à une matrice dont la première ligne a tous les éléments sont nuls sauf le premier, donc de la forme

avec non nul.

On continue suivant le même principe sur la matrice à lignes et colonnes restantes.

La dernière étape consistera à faire apparaître sur la diagonale principale des à la place des éléments non nuls en multipliant par les matrices élémentaires de type , par exemple , etc.

Remarque : Deux remarques
  • Si des permutations sur les colonnes (respectivement sur les lignes) sont nécessaires, elles doivent évidemment porter sur toute la colonne (respectivement ligne) de la matrice initiale.

  • Compte tenu des cas d'espèces, il est parfois possible de sauter des étapes ou plus commode d'inverser une action sur lignes et colonnes.

Remarque : Remarque pour les étudiants connaissant la notion de rang d'une matrice

Remarque pour les étudiants connaissant la notion de rang d'une matrice : il existe une interprétation de en terme de rang de et ce théorème fournit une méthode pratique de détermination du rang d'une matrice.

Nous allons traiter un exemple en explicitant chaque étape.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)