Base canonique de Mn,p(K) - Dimension de Mn,p(K)
Une question se pose immédiatement : l'espace vectoriel \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) est-il de type fini ? La réponse va être donnée dans ce qui suit.
On va aborder le problème en essayant de déterminer une famille génératrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) .
On considère l'exemple suivant : soit
\(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&3\\0&1&3\end{array}\right)\)
dans \(\mathcal M_{2,3}(\mathbf R)\), on peut écrire \(\mathcal A\) naturellement sous la forme suivante :
\(\left(\begin{array}{cccccc}1&1&3\\0&1&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{cccccc}0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0\\0&1&0\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{cccccc}0&0&0\\0&0&1\end{array}\right)\)
Si on analyse cette écriture, on observe que la matrice \(\mathcal A\) est combinaison linéaire des matrices de type \(2\times3\) dont tous les éléments sont nuls sauf un, égal à \(1\) ; cet élément non nul prend toutes les positions possibles ; ici il y a \(6\) possibilités.
En fait ceci est un résultat général, énoncé dans le théorème suivant.
Théorème : base canonique de \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)
Soit \(r\) un entier compris entre \(1\) et \(n\) et \(s\) un entier compris entre \(1\) et \(p\).
On désigne par \(E_{r,s}\) la matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la \(r\)- ième ligne, \(s\)-ième colonne qui est égal à \(1\).
Les matrices \(E_{r,s}\) définissent une base de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), appelée base canonique de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
Preuve :
Soit \(\mathcal A=(a_{i,j})\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). On peut alors écrire \(\displaystyle{\mathcal A=\sum_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}a_{i,j}E_{i,j}}\).
Ceci prouve que la famille des matrices \(E_{r,s}\) engendre \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
Comme il est évident que c'est une famille libre (si \(\displaystyle{\sum_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}\lambda_{i,j}E_{i,j}=0}\) , tous les \(\lambda_{i,j}\) sont nuls puisque \(\displaystyle{\sum_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}\lambda_{i,j}E_{i,j}}\) est la matrice de terme général \(\lambda_{i,j}\)), cette famille définit une base de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\).
On en déduit immédiatement en comptant le nombre de matrices \(E_{r,s}\) (ce qui revient à compter le nombre de positions que peut prendre \(1\)) le théorème suivant :
Théorème : La dimension
L'espace vectoriel \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) est de type fini et sa dimension est égale à \(np\).
Cas particulier
L'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre \(n,\mathcal M_{n}(\mathbf K)\) est de dimension \(n^2\).