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Base canonique de Mn,p(K) - Dimension de Mn,p(K)

Une question se pose immédiatement : l'espace vectoriel est-il de type fini ? La réponse va être donnée dans ce qui suit.

On va aborder le problème en essayant de déterminer une famille génératrice de .

On considère l'exemple suivant : soit

dans , on peut écrire naturellement sous la forme suivante :

Si on analyse cette écriture, on observe que la matrice est combinaison linéaire des matrices de type dont tous les éléments sont nuls sauf un, égal à ; cet élément non nul prend toutes les positions possibles ; ici il y a possibilités.

En fait ceci est un résultat général, énoncé dans le théorème suivant.

Théorème : base canonique de \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)

Soit un entier compris entre et et un entier compris entre et .

On désigne par la matrice à lignes et colonnes dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la - ième ligne, -ième colonne qui est égal à .

Les matrices définissent une base de , appelée base canonique de .

Preuve

Soit une matrice de . On peut alors écrire .

Ceci prouve que la famille des matrices engendre .

Comme il est évident que c'est une famille libre (si , tous les sont nuls puisque est la matrice de terme général ), cette famille définit une base de .

On en déduit immédiatement en comptant le nombre de matrices (ce qui revient à compter le nombre de positions que peut prendre ) le théorème suivant :

Théorème : La dimension

L'espace vectoriel est de type fini et sa dimension est égale à .

Cas particulier

L'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre est de dimension .

Légende :
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