Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases

Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps .

Soit la dimension de et une base de .

Soit la dimension de et une base de .

Soit une application linéaire de dans .

L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que :

- l'application linéaire est déterminée de façon unique par l'image d'une base de , donc par les vecteurs

- si est un entier compris entre est un vecteur de et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base de .

Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante :

si est un entier compris entre , il existe scalaires uniques

tels que

La notation ( ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel muni de la base . Elle sera utilisée dans toute cette ressource.

Remarque

Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires :

- le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de ;

- le premier qui, pour un même , varie entre et , indique que a_{i,j} est la coordonnée de sur le vecteur de la base de .

Donc, l'application linéaire est entièrement déterminée par les coefficients (il y a vecteurs et pour chacun d'eux, il y a coefficients ). Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à lignes et colonnes de terme général .

On a donc la définition suivante :

Définition

On appelle matrice associée à l'application linéaire par rapport aux bases

la matrice à lignes et colonnes dont la -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base du vecteur .

Cela signifie que si est un entier compris entre et et si s'écrit :

,

la -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases et est

Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de par rapport aux bases et ou dans les bases et ou relativement aux bases et .

Remarque : Remarques fondamentales
  1. Le type de la matrice associée à l'application linéaire par rapport aux bases et dépend uniquement de la dimension de et de celle de . En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de .

  2. Des bases étant choisies respectivement dans et , il y a unicité de la matrice associée à conformément à la définition précédente. Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)