Matrice et applications linéaires

Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps \(\mathbf K\).

Soit\( p\) la dimension de\( E\) et \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_p)\) une base de \(E\).

Soit \(n\) la dimension de \(\mathcal F\) et une base de \(\mathcal F\).

Soit\( \phi\) une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\).

L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que :

- l'application linéaire \(\phi\) est déterminée de façon unique par l'image d'une base de \(E\), donc par les vecteurs \(\phi(e_1),\phi(e_2),\cdots,\phi(e_p)\)

- si \(j\) est un entier compris entre\( 1 \textrm{ et }p,\phi(e_j)\) est un vecteur de \(\mathcal F\) et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base \(\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)\) de \(\mathcal F\).

Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de \(\mathcal F\) choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante :

si \(j\) est un entier compris entre \(1 \textrm{ et }p\), il existe \(n\) scalaires \(a_{1,j},a_{2,j},\cdots,a_{n,j}\) uniques

tels que\( \displaystyle{\phi(e_j)=a_{1,j}f_1+a_{2,j}f_2+\cdots+a_{n,j}f_n}\)

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\phi :(E,\mathcal B_E)&\to&(\mathcal F,\mathcal B_F)\\e_j&\mapsto&\phi(e_j)=\sum^n_{i=1}a_{i,j}f_i\end{array}}\)

La notation (\(E,\mathcal B_E\)) signifie que l'on considère l'espace vectoriel \(E\) muni de la base\( \mathcal B_E\) . Elle sera utilisée dans toute cette ressource.

Donc, l'application linéaire \(\phi\) est entièrement déterminée par les \(n\times p\) coefficients (il y a \(p\) vecteurs \(\phi(e_j)\) et pour chacun d'eux, il y a \(n\) coefficients \(a_{i,j}\) ). Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes de terme général \(a_{i,j}\) .

On a donc la définition suivante :

Cela signifie que si \(j\) est un entier compris entre \(1\) et \(p\) et si \(\phi(e_j)\) s'écrit :

\(\phi(e_j)=a_{1,j}f_1+a_{2,j}f_2+\cdots+a_{n,j}f_n\),

la \(j\)-ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) est \(\begin{array}{cccccc}a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots\\a_{n-1,j}\\a_{n,j}\end{array}\)

Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de \(\phi\) par rapport aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) ou dans les bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) ou relativement aux bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) .