Matrice associée à l'application identique
Soit donc \(E\) un espace vectoriel de dimension égale à \(n\) ; l'endomorphisme considéré est l'application identique de \(E\), notée \(\mathcal Id_{E}\).
Soient \(\mathcal B\) et \(\mathcal B'\) deux bases distinctes de \(E\).
Première situation
on se place dans le schéma suivant :
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}(E,\mathcal B)&\stackrel{\mathcal Id_{E}}{\longrightarrow}&(E,\mathcal B)\\x&\to&\mathcal Id_{E}(x)=x\end{array}}\)
Comme pour tout vecteur \(e_j\) de \(\mathcal B\), on a \(\mathcal Id_{E}(e_j)=e_j\), on a \([\mathcal Id_{E}]_\mathcal B=\mathcal I_n\).
Bien noter que ce résultat ne dépend pas de la base \(\mathcal B\) choisie sur \(E\).
Deuxième situation
on se place dans le schéma suivant :
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}(E,\mathcal B)&\stackrel{\mathcal Id_{E}}{\longrightarrow}&(E,\mathcal B)\\x&\to&\mathcal Id_{E}(x)=x\end{array}}\)
où \(\mathcal B\) et \(\mathcal B'\) sont deux bases différentes de \(E\).
Alors si \(\mathcal B=(e_1,e_2\cdots,e_n)\) et \(\mathcal B'=(e'_1,e'_2\cdots,e'_n)\) , on a \(\displaystyle{\mathcal Id_E(e_j)=e_j=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}e'_i}\)
et \([\mathcal Id_E]_{B}^{B'}\) est la matrice dont la j-ième colonne est formée des coordonnées de par rapport à ,
\(\mathcal B'=(e'_1,e'_2\cdots,e'_n)\)
soit\( \displaystyle{\begin{array}{cccccc}a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots\\a_{n,j}\end{array}}\).
Définition :
Cette matrice est appelée matrice de passage de la base \(\mathcal B'\) à la base \(\mathcal B\).
Elle joue un rôle fondamental lorsque l'on cherche une relation entre les matrices associées à une même application linéaire avec des choix de bases différents.
Exemple :
Soit \(\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de\( \mathbf R^3\) et la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\),
avec \(\epsilon_1=(1,1,0),\epsilon_2=(1,0,1)\) et \(\epsilon_3=(0,1,1)\) .
Alors on a\( \epsilon_1=e_1+e_2,\epsilon_2=e_1+e_3\) et \(\epsilon_3=e_2+e_3\) .
Donc\( [\mathcal Id_E]^{B}_{B'}=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{array}\right)\).
(on écrit en colonne les coordonnées des vecteurs \(\epsilon_j\) sur la base\( (e_1,e_2,e_3)\)).
On peut aussi écrire la matrice associée à l'application identique en prenant la base canonique sur l'espace de départ et la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\) sur l'espace d'arrivée.
Cela nécessite d'écrire les vecteurs \(e_j\) sur la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\).
On obtient : \(\displaystyle{e_1=\frac{1}{2}(\epsilon_1+\epsilon_2-\epsilon_3),e_2=\frac{1}{2}(\epsilon_1-\epsilon_2+\epsilon_3)}\) et\( e_3=\frac{1}{2}(-\epsilon_1+\epsilon_2-\epsilon_3)\).
Donc on a \(\displaystyle{[\mathcal Id_E]^{B}_{B'}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccccc}1&1&-1\\1&-1&1\\-1&1&1\end{array}\right)}\).
Remarque :
Ceci met aussi clairement en évidence que non seulement le choix des bases est important mais encore leur position sur espace de départ ou espace d'arrivée.
Ce point est approfondi dans la ressource où est établi le lien entre la composition des applications et le produit des matrices.