Exemples
Soit \(\mathcal L\) l'application linéaire de \(\mathbf R^3\) dans \(\mathbf R^2\) définie par :
\(\begin{array}{cccccc}\mathcal L :\mathbf R^3&\to&\mathbf R^2\\(x_1,x_2,x_3)&\mapsto&(x_1+x_2,x_1+x_3)\end{array}\)
On se propose de déterminer la matrice associée à \(\mathcal L\) par rapport à des bases choisies sur \(\mathbf R^3\) et \(\mathbf R^2\). Quelles que soient les bases choisies, on trouvera une matrice à deux lignes et trois colonnes puisque \(n=2\) et \(p=3\).
Premier choix de bases
On considère \((e_1,e_2,e_3)\) base canonique de \(\mathbf R^3\) et \((f_1,f_2)\) base canonique de \(\mathbf R^2\). Alors on a \(\phi(e_1)=(1,1)=f_1+f_2\) ; la première colonne de \(\mathcal M=[\mathcal L]_{e_1,e_2,e_3}^{f_1,f_2}\) est donc : \(\begin{array}{cccccc}1\\1\end{array}\).
De même\( \phi(e_2)=(1,0)=f_1\), la deuxième colonne de \(\mathcal M=[\mathcal L]_{e_1,e_2,e_3}^{f_1,f_2}\) est donc : \(\begin{array}{cccccc}1\\0\end{array}\).
Enfin \(\phi(e_3)=(0,1)=f_2\), la troisième colonne de \(\mathcal M=[\mathcal L]_{e_1,e_2,e_3}^{f_1,f_2}\) est donc :\(\begin{array}{cccccc}0\\1\end{array}\) .
Il en résulte que \(\mathcal M=[\mathcal L]_{e_1,e_2,e_3}^{f_1,f_2}=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).
Deuxième choix de bases
On considère encore la base canonique \((e_1,e_2,e_3)\) sur \(\mathbf R^3\) et la base \((f_1',f_2')\) sur \(\mathbf R^2\) avec \(f_1'=f_2=(0,1)\) et \(f_2'=f_1=(1,0)\) (seul l'ordre des vecteurs a été changé).
Alors \(\phi(e_1)=(1,1)=f'_1+f'_2,\phi(e_2)=(1,0)=f'_2\) et \(\phi(e_3)=(0,1)=f'_1\).
Par conséquent \(\mathcal M'=[\mathcal L]_{e_1,e_2,e_3}^{f'_1,f'_2}=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\).
Sur cet exemple, on voit bien la nécessité de définir une base d'un espace de dimension n comme un \(n\)-uplet et non pas comme une partie.
Troisième choix de bases
On va changer la base de l'espace de départ et conserver celle de l'espace d'arrivée. Soient les vecteurs \(\epsilon_1=(1,1,0),\epsilon_2=(1,0,1)\) et\( \epsilon_3=(0,1,1)\) de \(\mathbf R^3\). On montre facilement que ces vecteurs déterminent une base de\( \mathbf R^3\).
Démonstration :
Comme on a trois vecteurs dans \(\mathbf R^3\), espace vectoriel de dimension \(3\), il suffit de montrer qu'ils sont linéairement indépendants pour prouver qu'ils définissent une base.
Soit donc une combinaison linéaire nulle des vecteurs : \(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 :\alpha_1\epsilon_1+\alpha_2\epsilon_2+\alpha_3\epsilon_3=0\).
En exprimant les vecteurs \(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\) sur la base canonique de \(\mathbf R^3\), cette égalité équivaut au système suivant :
\(\left\{\begin{array}{cccccccc}\alpha_1&+&\alpha_2&&&&=&0\\\alpha_1&&&+&\alpha_3&&=&0\\&&\alpha_2&+&\alpha_3&&=&0\end{array}\right.\)
dont la résolution par la méthode du Pivot de Gauss conduit à l'unique solution :\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(0,0,0)\) . Les vecteurs \(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\) sont donc linéairement indépendants.
On considère alors les bases \((\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\) et\( (f_1,f_2)\) de \(\mathbf R^3\) et \(\mathbf R^2\) respectivement.
Alors \(\mathcal L(\epsilon_1)=2f_1+f_2,\mathcal L(\epsilon_2)=f_1+f_2,\mathcal L(\epsilon_3)=f_1+f_2 \)et \(\mathcal M'=[\mathcal L]_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}^{f_1,f_2}=\left(\begin{array}{cccccc}2&1&1\\1&2&1\end{array}\right)\) .
Cet exemple illustre bien le fait que la matrice dépend du choix des bases.