Matrice et applications linéaires

Soient\( E\) et \(\mathcal F\) deux \(\mathbf K\)-espaces vectoriels de type fini. Des bases\( \mathcal B_E\) et  \(\mathcal B_F\) étant choisies sur\( E\)  et \(\mathcal F\) respectivement, on sait associer une matrice \(\mathcal M\) appartenant à \(\mathcal M_\textrm{dimF,dimE}(\mathbf K)\) à une application linéaire \(\phi\) de \(E\) dans \(\mathcal F\).

La question qui se pose est la suivante :

Si d'autres bases \(\mathcal B'_E\) et\( \mathcal B'_F\) sont choisies, existe-t-il une relation simple entre la matrice associée à l'application linéaire considérée par rapport à \(\mathcal B'_E\) et \(\mathcal B'_F\), et celle qui lui est associée par rapport à \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) ?

Les différents éléments du problème apparaissent en analysant la démarche élémentaire qui peut être faite pour répondre à la question posée.

Fixons les notations :  \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_\textrm{dim E}),\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_\textrm{dim F}),\mathcal B'_E=(e'_1,e'_2,\cdots,e'_\textrm{dim E})\textrm{ et }\mathcal B_F=(f'_1,f'_2,\cdots,f'_\textrm{dim F})\).

Dès que la matrice de\( \phi\) par rapport aux bases\( \mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\), notée \([\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\), est connue, les coordonnées de \(\phi(e_i)\) sur \(\mathcal B_F=(f_1,f_2,\cdots,f_\textrm{dimF})\) le sont aussi (\(i\) est un entier quelconque compris entre \(1\) et \(\textrm{ dim }E\)).

Pour avoir la matrice de \(\phi\) par rapport aux bases \(\mathcal B'_E\) et \(\mathcal B'_F\), notée \([\phi]_{\mathcal B'_E}^{\mathcal B'_F}\),

il faut déterminer, pour tout entier i compris entre \(1\) et \(\textrm{ dim }F\), les coordonnées de \(\phi(e'_i)\) sur \(\mathcal B'_F=(f'_1,f'_2,\cdots,f'_{\textrm{dim F}})\) .

Il est clair alors que la démarche naturelle est la suivante :

Première étape : On détermine les coordonnées de \(e'_i\) sur la base

\(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_\textrm{dim E})\) .

Deuxième étape : A partir de là, il est facile d'obtenir l'expression de \(\phi(e'_i)\) en fonction des vecteurs \(\phi(e_i)\), puis des vecteurs\(f_j\) de \(\mathcal B_F\).

Troisième étape :

On détermine les coordonnées des vecteurs\( f_j\) sur la base \(\mathcal B'_F=(f'_1,f'_2,\cdots,f'_{\textrm{dim F}})\).

Quatrième et dernière étape :

A partir de là, on calcule les coordonnées des vecteurs \(\phi(e'_i)\) sur la base \(\mathcal B'_F=(f'_1,f'_2,\cdots,f'_{\textrm{dim F}})\).

L'objet de cette ressource est de synthétiser cette démarche de manière à avoir une méthode systématique simple pour faire les calculs, en remplaçant les calculs vectoriels décrits ci-dessus par des calculs matriciels.