Position du problème
Problème

Soient et deux -espaces vectoriels de type fini. Des bases et  étant choisies sur  et respectivement, on sait associer une matrice appartenant à à une application linéaire de dans .

La question qui se pose est la suivante :

Si d'autres bases et sont choisies, existe-t-il une relation simple entre la matrice associée à l'application linéaire considérée par rapport à et , et celle qui lui est associée par rapport à  et ?

Approche élémentaire

Les différents éléments du problème apparaissent en analysant la démarche élémentaire qui peut être faite pour répondre à la question posée.

Fixons les notations :  .

Dès que la matrice de par rapport aux bases et , notée , est connue, les coordonnées de sur le sont aussi ( est un entier quelconque compris entre et ).

Pour avoir la matrice de par rapport aux bases et , notée ,

il faut déterminer, pour tout entier i compris entre et , les coordonnées de sur .

Il est clair alors que la démarche naturelle est la suivante :

Première étape : On détermine les coordonnées de sur la base

.

Deuxième étape : A partir de là, il est facile d'obtenir l'expression de en fonction des vecteurs , puis des vecteurs de .

Troisième étape :

On détermine les coordonnées des vecteurs sur la base .

Quatrième et dernière étape :

A partir de là, on calcule les coordonnées des vecteurs sur la base .

L'objet de cette ressource est de synthétiser cette démarche de manière à avoir une méthode systématique simple pour faire les calculs, en remplaçant les calculs vectoriels décrits ci-dessus par des calculs matriciels.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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