Effet d'un changement de base sur les coordonnées d'un vecteur

Soit un espace vectoriel de type fini, sa dimension. Soient et deux bases différentes de et la matrice de passage de à .

Un vecteur de , admet une décomposition sur la base et sur la base . On a donc :

et

Soit la matrice colonne à lignes associée à dans la base ,

et la matrice colonne à lignes associée à dans la base .

Si est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de type fini, l'égalité vectorielle se traduit matriciellement par l'égalité , où désignent respectivement la matrice colonne associée à par rapport à la base et la matrice colonne associée à par rapport .

Ici l'égalité , avec le choix de base schématisé par :

donne le résultat suivant : la matrice colonne associée à dans la base de l'espace d'arrivée, à savoir , est égale à est la matrice de passage de à et est la matrice colonne associée à dans la base .

On a donc

Compte tenu des propriétés des matrices de passage, il est immédiat que cette égalité équivaut à :

Si on simplifie les notations, en prenant et , la première égalité devient : (Attention à l'ordre des vecteurs dans cette formule).

Exemple

On considère l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à . Soit la base canonique de .

(rappel : )

Soit la base de définie par .

Démonstration

Comme est de dimension , pour montrer que les vecteurs déterminent une base, il suffit de montrer qu'ils sont linéairement indépendants.

Soit donc une combinaison linéaire nulle de, .

Cela équivaut à :

En donnant successivement à les valeurs et , on obtient

et donc

Pour avoir , il suffit d'exprimer les vecteurs sur . De même pour avoir , il suffit d'exprimer les vecteurs sur .

Alors .

Alors si est une fonction polynôme

, on a les relations

Par exemple, pour écrire la fonction polynôme sur la base , il suffit de calculer les coordonnées de sur à partir de la relation :

  On obtient : .

D'où soit :

.

Légende :
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