Effet d'un changement de base sur les coordonnées d'un vecteur

Soit\( E\) un espace vectoriel de type fini, \(n\) sa dimension. Soient \(\mathcal B\) et \(\mathcal B'\) deux bases différentes de\( E\) et \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\) la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B'\).

Un vecteur \(x\) de \(E\), admet une décomposition sur la base \(\mathcal B\) et sur la base\( \mathcal B'\). On a donc :

\(\displaystyle{x=\sum_{i=1}^{i=n}x_ie_i}\) et \(\displaystyle{x=\sum_{i=1}^{i=n}x'_ie'_i}\)

Soit \(\mathcal X_\mathcal B\) la matrice colonne à \(n\) lignes associée à \(x\) dans la base \(\mathcal B\),\( \mathcal X_\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\)

et \(\mathcal X_\mathcal B\) la matrice colonne à \(n\) lignes associée à \(x\) dans la base \(\mathcal B',\mathcal X_\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}x'_1\\\vdots\\x'_n\end{array}\right)\).

Si \(\phi\) est une application linéaire entre deux espaces vectoriels de type fini, l'égalité vectorielle \(y=\phi(x)\) se traduit matriciellement par l'égalité \(\mathcal Y=[\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\mathcal X\) , où \(\mathcal X \textrm{ et }\mathcal Y\) désignent respectivement la matrice colonne associée à \(x\) par rapport à la base\( \mathcal B_E\) et la matrice colonne associée à \(y\) par rapport \(\mathcal B_F\).

Ici l'égalité \(x=\mathcal Id_E(x)\), avec le choix de base schématisé par :

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}(`E,\mathcal B')&\stackrel{\mathcal Id_E}{\longrightarrow}&(E,\mathcal B)\\x&\mapsto&\mathcal Id_E(x)=x\end{array}}\)

donne le résultat suivant : la matrice colonne \(\mathcal X_\mathcal B\) associée à \(x\) dans la base de l'espace d'arrivée, à savoir \(\mathcal B\), est égale à \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\mathcal X_{\mathcal B'}\) où \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\) est la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B'\) et \(\mathcal X_{\mathcal B'}\) est la matrice colonne associée à \(x\) dans la base \(\mathcal B'\).

On a donc

\(\mathcal X_{\mathcal B}=\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\mathcal X_{\mathcal B'}\)

Compte tenu des propriétés des matrices de passage, il est immédiat que cette égalité équivaut à :

\(\mathcal X_{\mathcal B'}=\mathcal P_{\mathcal B',\mathcal B}\mathcal X_{\mathcal B}\)

Si on simplifie les notations, en prenant \(\mathcal X=\mathcal X_{\mathcal B},\mathcal X'=\mathcal X_{\mathcal B'}\) et \(\mathcal P=\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\), la première égalité devient : \(\mathcal X=\mathcal P\mathcal X'\) (Attention à l'ordre des vecteurs dans cette formule).

Exemple

On considère l'espace vectoriel \(\mathcal P_2(\mathbf R)\) des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(2\). Soit \(\mathcal B=(f_0,f_1,f_2)\) la base canonique de \(\mathcal P_2(\mathbf R)\) .

(rappel :\(f_0 :x\mapsto1,f_1 :x\mapsto x,f_2x\mapsto x^2\))

Soit \(\mathcal B'=(g_0,g_1,g_2)\) la base de\( \mathcal P_2(\mathbf R)\) définie par \(g_0 :x\mapsto1,g_1 :x\mapsto x-2,g_2 :x\mapsto(x-2)^2\).

Démonstration

Comme \(\mathcal P_2(\mathbf R)\) est de dimension \(3\), pour montrer que les \(3\) vecteurs \(g_0,g_1,g_2\) déterminent une base, il suffit de montrer qu'ils sont linéairement indépendants.

Soit donc une combinaison linéaire nulle de,\(g_0,g_1,g_2\) .

\(\alpha_0g_0+\alpha_1g_1+\alpha_2g_2=0\)

Cela équivaut à :

\(\forall x\in\mathbf R,\alpha_0+\alpha_1(x-2)+\alpha_2(x-2)^2=0\)

En donnant successivement à \(x\) les valeurs \(2, 1,\) et \(0\), on obtient

\(\alpha_0=0,-\alpha+\alpha_2=0,-2\alpha_1+4\alpha_2=0\) et donc \(\alpha_0=\alpha_1=\alpha_2=0.\)

Pour avoir \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\) , il suffit d'exprimer les vecteurs \(g_0,g_1,g_2\) sur \(\mathcal B=(f_0,f_1,f_2)\) . De même pour avoir \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\), il suffit d'exprimer les vecteurs \(f_0,f_1,f_2\) sur\( \mathcal B'=(g_0,g_1,g_2)\).

Alors \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}=\left(\begin{array}{cccccc}1&-2&4\\0&1&-4\\0&0&1\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal P_{\mathcal B',\mathcal B}=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&4\\0&1&4\\0&0&1\end{array}\right)\) .

Alors si \(\phi\) est une fonction polynôme \(\phi=\alpha_0f_0+\alpha_1f_1+\alpha_2f_2=\alpha'_0g_0+\alpha'_1g_1+\alpha'_2g_2\)

, on a les relations

\(\left(\begin{array}{cccccc}\alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&-2&4\\0&1&-4\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}\alpha'_0\\\alpha'_1\\\alpha'_2\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{cccccc}\alpha'_0\\\alpha'_1\\\alpha'_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&4\\0&1&4\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}\alpha_0\\\alpha_1\\\alpha_2\end{array}\right)\)

Par exemple, pour écrire la fonction polynôme \(\phi :x\mapsto1+x+x^2\) sur la base ,\(\mathcal B'=(g_0,g_1,g_2)\) il suffit de calculer les coordonnées \(\alpha'_0,\alpha'_1,\alpha'_2\) de \(\phi\) sur \(\mathcal B'=(g_0,g_1,g_2)\) à partir de la relation :

\(\left(\begin{array}{cccccc}\alpha'_0\\\alpha'_1\\\alpha'_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&4\\0&1&4\\0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1\\1\\1\end{array}\right)\)

  On obtient : \(\alpha'_0=7,\alpha'_1=5,\alpha'_2=1\).

D'où \(\phi=7g_0+5g_1+g_2\) soit :

\(\forall x\in\mathbf R,1+x+x^2=7+5(x-2)+(x-2)^2\) .