Interprétation d'une matrice carrée inversible comme la matrice de passage d'une base à une autre
Proposition

Soit une matrice carrée d'ordre inversible. Etant donnée une base de , il existe une unique base de telle que soit la matrice de passage de à '.

Soit une base donnée de et soit l'endomorphisme de dont la matrice par rapport à la base (sur l'espace de départ et d'arrivée) est égale à , soit .

Comme est inversible, aussi, c'est donc une bijection.

Les vecteurs , images par un automorphisme d'une base de , déterminent donc une base.

Théorème : Condition nécessaire et suffisante...

Soient et deux espaces vectoriels sur un même corps . L'espace est supposé de type fini, soit sa dimension.

Soit une base de et une application linéaire de dans . Alors :

1. est injective est une famille libre de .

2. est surjective engendre .

3. est bijective est une base de .

Donc, avec le -uplet est une base de et les colonnes de la matrice sont formées des coordonnées des vecteurs de cette base par rapport à la base .

Par conséquent est la matrice de passage de la base à la base .

Dans la pratique, on prend souvent pour la base canonique.

Légende :
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