Interprétation d'une matrice carrée inversible comme la matrice de passage d'une base à une autre
Proposition :
Soit \(\mathcal M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) inversible. Etant donnée une base \(\mathcal B\) de \(\mathbf K^n\) , il existe une unique base \(\mathcal B'\) de \(\mathbf K^n\) telle que \(\mathcal M\) soit la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B\)'.
Soit \(\mathcal B=(e_1,e_2,\cdots,e_n)\) une base donnée de \(\mathbf K^n\) et soit \(\psi\) l'endomorphisme de \(\mathbf K^n\) dont la matrice par rapport à la base\( \mathcal B\) (sur l'espace de départ et d'arrivée) est égale à \(\mathcal M\), soit \([\psi]_\mathcal B=\mathcal M\).
Comme \(\mathcal M\) est inversible,\( \psi\) aussi, c'est donc une bijection.
Les vecteurs \(\psi(e_1),\psi(e_2),\cdots,\psi(e_n)\), images par un automorphisme d'une base de \(\mathbf K^n\) , déterminent donc une base.
Théorème : Condition nécessaire et suffisante...
Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbf K\). L'espace \(E\) est supposé de type fini, soit \(n (n\geq 1)\) sa dimension.
Soit une base de \(E\) et\( f\) une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\). Alors :
1.\( f\) est injective\( \Leftrightarrow\{f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_n)\}\) est une famille libre de \(\mathcal F\).
2. \(f\) est surjective \(\Leftrightarrow\{f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_n)\}\) engendre \(\mathcal F\).
3. \(f\) est bijective \(\Leftrightarrow\{f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_n)\}\) est une base de \(\mathcal F\).
Donc, avec \(\epsilon_1=f(e_1),\epsilon_2=f(e_2),\cdots,\epsilon_n=f(e_n)\) le \(n\)-uplet \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)\) est une base de \(\mathbf K^n\) et les colonnes de la matrice \(\mathcal M\) sont formées des coordonnées des vecteurs de cette base par rapport à la base \(\mathcal B\).
Par conséquent \(\mathcal M\) est la matrice de passage de la base \(\mathcal B\) à la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)\).
Dans la pratique, on prend souvent pour\( \mathcal B\) la base canonique.