Définition
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(n\) sa dimension. On sait que toutes les bases de \(E\) ont \(n\) éléments.
Définition :
Soit \(\mathcal B\) une base de \(E\). Soit \(\mathcal B'\) une autre base définie par la donnée des coordonnées de ses vecteurs dans la base \(\mathcal B\). On appelle matrice de passage de la base \(\mathcal B\) à la base \(\mathcal B'\) la matrice carrée d'ordre \(n\) dont la\( j\)-ième colonne est formée des coordonnées du \(j\)-ième vecteur de la base\( \mathcal B'\), par rapport à la base \(\mathcal B\).
Attention à l'ordre des bases dans cette définition.
Exemple :
Soit l'espace vectoriel réel \(\mathbf R^2\).
On considère la base canonique \(\mathcal B=(e_1,e_2)\textrm{ et la base }\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2)\) avec et . La matrice de passage de la base \(\mathcal B\) à la base\( \mathcal B\)' est la matrice \(\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&1\end{array}\right)\) dont la première colonne est donnée par les coordonnées du vecteur \(\epsilon_1\) sur la base \((e_1,e_2)\) et la deuxième par les coordonnées de \(\epsilon_2\) sur la base \((e_1,e_2)\).
Notation
Il peut être souvent utile, pour éviter des ambiguïtés, de préciser la notation.
On notera \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\) la matrice de passage de la base \(\mathcal B\) à la base \(\mathcal B'\)