Matrice et applications linéaires

Cette interprétation est un outil fondamental pour ce qui suit. Elle permet d'obtenir les résultats de façon très élégante et avec un minimum de calculs.

On sait qu'en prenant sur l'espace de départ et sur l'espace d'arrivée la même base, la matrice associée à l'application identique est la matrice \(\mathcal I_n\).

Par contre ce n'est pas le cas si les bases sur \(E\) espace de départ et \(E\) espace d'arrivée sont différentes.

Soient donc\( \mathcal B=(e_1,e_2,\cdots,e_n)\) et \(\mathcal B'=(e'_1,e'_2,\cdots,e'_n)\) deux bases différentes de \(E\).

D'après la définition de la matrice de passage de \(\mathcal B\) à \(\mathcal B'\), la \(j\)-ième colonne de \(\mathcal P_{\mathcal B ,\mathcal B'}\) est formée des coordonnées du vecteur \(e'_j\) sur la base \(\mathcal B=(e_1,e_2,\cdots,e_n)\) .

Il est donc nécessaire, pour que cette matrice soit celle de l'identité, que la base de l'espace de départ soit \(\mathcal B'\) et celle de l'espace d'arrivée B puisque le vecteur \(e'_j=\mathcal Id_E(e'_j)\) est exprimé sur \(\mathcal B\).

On est donc amené à considérer le schéma suivant :

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}(E,\mathcal B')&\stackrel{\mathcal Id_E}{\longrightarrow}&(E,\mathcal B)\\x&\mapsto&\mathcal Id_E(x)=x\end{array}}\)

Alors si \(\mathcal B=(e_1,e_2,\cdots,e_n)\textrm{ et }\mathcal B'=(e'_1,e'_2,\cdots,e'_n)\), on a \(\displaystyle{\mathcal Id_E(e'_j)=e'_j=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}e_i}\textrm{ et }[\mathcal Id_E]_{\mathcal B'}^{\mathcal B}\) est la matrice dont la \(j\)-ième colonne est formée des composantes de \(e'_j\) par rapport à

\(\mathcal B=(e_1,e_2,\cdots,e_n)\), soit \(\begin{array}{cccccc}a_{1,j}\\a_{2,j}\\\vdots\\a_{n,j}\end{array}\)

Cette colonne est la j-ième colonne de\( \mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\).

C'est donc le résultat souhaité.