Matrice inverse d'une matrice de passage
Dans l'étude préalable qui a été faite, on a vu que la résolution du problème posé nécessite de connaître non seulement la matrice de passage de \(\mathcal B_E\) à \(\mathcal B'_E\) , mais aussi la matrice de passage de \(\mathcal B'_F\) à \(\mathcal B_F\).
Cela donne l'idée de s'intéresser à la matrice inverse d'une matrice de passage. Comme l'application identique est un automorphisme, sa matrice \([\mathcal Id_E]_{\mathcal B'}^{\mathcal B}\) est inversible et donc aussi \(\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'}\).
Théorème : Matrice d'un isomorphisme
Soient \(E \textrm{ et }\mathcal F\) deux \(\mathbf K\)-espaces vectoriels de type fini, de même dimension.
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire\( \phi\) de \(E\) dans \(\mathcal F\) soit un isomorphisme est que la matrice associée à \(\phi\) par rapport à des bases \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B_F\) quelconques de \(E\) et \(\mathcal F\) respectivement, soit inversible.
De plus, si \(\phi\) est un isomorphisme de \(E\) dans \(\mathcal F\), et si \(\mathcal A=\textrm{Mat}_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}(\phi)\), la matrice de \(\phi^{-1}\) par rapport aux bases \(\mathcal B_F\) et \(\mathcal B_E\) est égale à \(\mathcal{A}^{-1}\), inverse de la matrice \(\mathcal A\).
Cela s'écrit :\( (\textrm{Mat}_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}(\phi))^{-1}=\textrm{Mat}_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}(\phi^{-1})\)
On sait, d'après le résultat général, que
\([\textrm{Mat}_{\mathcal B'}^{\mathcal B},(\mathcal Id_E)]^{-1}=\textrm{Mat}_{\mathcal B'}^{\mathcal B}(\mathcal Id_E^{-1})=\textrm{Mat}_{\mathcal B}^{\mathcal B'},(\mathcal Id_E)\)
Attention aux places des bases dans ces égalités
Or, d'après la définition de la matrice de passage d'une base à une autre, \(\textrm{Mat}_{\mathcal B}^{\mathcal B'},(\mathcal Id_E)\) est la matrice de passage de la base \(\mathcal B'\) à la base \(\mathcal B\). On a donc la propriété suivante :
Proposition : Inverse d'une matrice de passage
La matrice de passage d'une base \(\mathcal B\) à une base \(\mathcal B'\) est inversible et son inverse est égale à la matrice de passage de la base \(\mathcal B'\) à la base \(\mathcal B\).
\((\mathcal P_{\mathcal B,\mathcal B'})^{-1}=\mathcal P_{\mathcal B',\mathcal B}\)
Conséquence
Cette proposition donne un procédé pratique pour calculer l'inverse d'une matrice de changement de base. Si \(\mathcal B_E\) et \(\mathcal B'_E\) sont deux bases différentes de \(E\), il suffit, pour déterminer l'inverse de la matrice de passage de la base\( \mathcal B_E\) à \(\mathcal B'_E\) , d'exprimer les vecteurs de\( \mathcal B_E\) par rapport à \(\mathcal B'_E\). Cela se fait facilement en utilisant une technique de résolution de système.
Exemple :
On reprend l'exemple précédent avec les deux bases de \(\mathbf R^2\) : la base canonique \(\mathcal B=(e_1,e_2)\) et la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2)\) avec \(\epsilon_1=e_1+e_2\) et \(\epsilon_2=e_2\) . Alors la matrice de passage de la base \(\mathcal B\) à la base \(\mathcal B'\), égale à \(\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&1\end{array}\right)\), est inversible et son inverse est la matrice de passage de la base \(\mathcal B'\) à la base\( \mathcal B\).
Pour la déterminer il suffit donc d'écrire les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\) de \(\mathcal B_E\) sur la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2)\). On a \(e_1=\epsilon_1-\epsilon_2\) et \(e_2=\epsilon_2\) par conséquent la matrice de passage de la base \(\mathcal B'=(\epsilon_1,\epsilon_2)\) à la base \(\mathcal B=(e_1,e_2)\) est égale à : \(\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\-1&1\end{array}\right)\).