Matrice inverse d'une matrice de passage

Dans l'étude préalable qui a été faite, on a vu que la résolution du problème posé nécessite de connaître non seulement la matrice de passage de à , mais aussi la matrice de passage de à .

Cela donne l'idée de s'intéresser à la matrice inverse d'une matrice de passage. Comme l'application identique est un automorphisme, sa matrice est inversible et donc aussi .

Théorème : Matrice d'un isomorphisme

Soient deux -espaces vectoriels de type fini, de même dimension.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un isomorphisme est que la matrice associée à par rapport à des bases et quelconques de et respectivement, soit inversible.

De plus, si est un isomorphisme de dans , et si , la matrice de par rapport aux bases et est égale à , inverse de la matrice .

Cela s'écrit :

On sait, d'après le résultat général, que

Attention aux places des bases dans ces égalités

Or, d'après la définition de la matrice de passage d'une base à une autre, est la matrice de passage de la base à la base . On a donc la propriété suivante :

Proposition : Inverse d'une matrice de passage

La matrice de passage d'une base à une base est inversible et son inverse est égale à la matrice de passage de la base à la base .

Conséquence

Cette proposition donne un procédé pratique pour calculer l'inverse d'une matrice de changement de base. Si et sont deux bases différentes de , il suffit, pour déterminer l'inverse de la matrice de passage de la base à , d'exprimer les vecteurs de par rapport à . Cela se fait facilement en utilisant une technique de résolution de système.

Exemple

On reprend l'exemple précédent avec les deux bases de : la base canonique et la base avec et . Alors la matrice de passage de la base à la base , égale à , est inversible et son inverse est la matrice de passage de la base à la base .

Pour la déterminer il suffit donc d'écrire les vecteurs et de sur la base . On a et   par conséquent la matrice de passage de la base à la base est égale à : .

Légende :
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