Formule de changement de base pour un endomorphisme
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et un endomorphisme de \(E\). Le résultat précédent peut être appliqué dans ce cas. On n'envisage dans ce paragraphe que les cas où la même base est choisie sur \(E\) espace de départ et \(E\) espace d'arrivée.
Le théorème de changement donne alors le résultat suivant
Théorème : Formule de changement de base pour les endomorphismes
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(\phi\) un endomorphisme de\( E\). Soient\( \mathcal B_E\) et \(\mathcal B'_E\) deux bases de \(E\) et \(\mathcal P=\mathcal P_{\mathcal B_E,\mathcal B'_E}\) la matrice de passage de \(\mathcal B_E\) à \(\mathcal B'_E\). Alors, la matrice associée à \(\phi\) par rapport à la base \(\mathcal B_E\) et la matrice associée à \(\phi\) par rapport à la base
\(\mathcal B'_E\) sont liées par la formule :
\([\phi]_{\mathcal B'_E}=\mathcal P^{-1}[\phi]_{\mathcal B_E}\mathcal P\)